Функции случайных величин

[Limit79]

Здравствуйте!

Есть такая задачка:

Случайная величина $\xi$ равномерно распределена на $[-1;1]$. Найти функцию и плотность распределения случайной величины $\eta = \xi^2+1$.

Мои попытки:
Плотность распределения с.в. $\xi$ будет

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}, x \in [-1;1]& \\ 0, \notin [-1;1]& \\ \end{array} \right.$$

Так как с.в. $\eta$ не принимает отрицательных значений, то

$$G(y) = 0, \quad y \leqslant 0$$

Далее нахожу:

$$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}} \frac{dx}{2} = \sqrt{y-1}$$

Мы получили выражение, которым задается искомая функция распределения на некотором интервале, но я не понимаю, на каком именно.

PS. У меня есть пример, но там заданная функция распределения определена одним выражением на всей числовой прямой, и они пишут, что полученное выражение -- есть выражение для искомой функции распределения для $y>0$...

Спасибо!

[provincialka]

Limit79 в сообщении #957686 писал(а):

Так как с.в. $\eta$ не принимает отрицательных значений,

И не только. Меньших 1 тоже не принимает. И больших 2.
А для остальных можно применить ваше рассуждение.

[ewert]

Лучше в данном случае не на плотность, а именно на функцию распределения, т.е. на вероятность выпасть туды-сюды. Она вполне тупо выражается в данном случае через исходную СВ. Ну а уж плотность после этого ещё более тупо сама собой вылезет.

[Limit79]

provincialka
При $y \leqslant 1$ и при $y \geqslatn > 2$ будет $G(y)=0$, но ведь функция распределения должна быть единицей, при $y \to +\infty$?

[provincialka]

Почему

Limit79 в сообщении #957695 писал(а):

при $y \geqslatn > 2$ будет $G(y)=0$

Откуда это следует? Не так.

[Limit79]

provincialka
Из того, что $\eta$ не принимает значений, которые меньше $1$ и больше $2$.

[provincialka]

И что? Чему равно, например, $G(3)$? Выпишите явно.

[Limit79]

provincialka

$$G(3) = P\{\eta<3\} = \int\limits_{-\infty}^{3} g(y) dy$$

[provincialka]

Не надо интеграла. Через $\xi$ как выражается?

[Limit79]

provincialka

$$G(3) = P\{\eta<3\} = P\{\xi^2+1<3\} = P\{\xi^2<2\} = P\{-\sqrt{2}<\xi<\sqrt{2}\} = F_{\xi}(\sqrt{2}) - F_{\xi}(-\sqrt{2}) = 1-0=1$$

[provincialka]

Последнее выражение, собственно, излишне. С какой вероятностью выполняется $\xi^2<2$? Ведь $\xi^2$ пробегает значения от 0 до 1.

[Limit79]

provincialka
Я вроде понял, сейчас соберу мысли и напишу

-- 07.01.2015, 02:18 --

Плотность распределения с.в. $\xi$ будет

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2}, x \in [-1;1]& \\ 0, \notin [-1;1]& \\ \end{array} \right.$$

Так как с.в. $\xi$ принимает значения только из промежутка $[-1;1]$, и случайные величины связаны зависимостью $\eta=\xi^2+1$, то с.в. $\eta$ принимает значения только из промежутка $[1;2]$, следовательно

$$G(y)=0, \quad y < 1$$

На отрезке $[1;2]$ имеем... а вот не знаю, что имеем

На $[1;2]$ будет скорее всего

$$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{\sqrt{y-1}} \frac{dx}{2} = \sqrt{y-1}$$

Но вот обосновать не могу.

-- 07.01.2015, 02:29 --

При $y>2$ будет

$$G(y) = P\{\eta<y\} = P\{\xi^2+1<y\}= P\{|\xi|<\sqrt{y-1}\} = \int\limits_{-\sqrt{y-1}}^{0}0 dx + \int\limits_{-1}^{1} \frac{dx}{2} + \int\limits_{1}^{\sqrt{y-1}}0 dx = 1$$

Но это тоже не могу понять как получилось...

-- 07.01.2015, 02:33 --

А конкретно неясно то, почему в первом случае одни пределы интегрирования, а во втором уже другие.

[Limit79]

Я сделал другим способом, сначала нашел плотность, а потом, исходя из нее, функцию распределения. Единственный вопрос:

Плотность получилась такая

$$f(y) = \left\{ \begin{array}{rcl} \frac{1}{2 \sqrt{y-1}}, y \in [1;2]& \\ 0,y \notin [1;2]& \\ \end{array} \right.$$

Это нормально, что при $y=1$ плотность терпит бесконечный разрыв? (но интеграл $\int\limits_{-\infty}^{\infty} f(y) dy$ сходится и равен единице, как и должно быть).

[provincialka]

К чему так много интегралов? Если $y>2$, то неравенство $\xi^2+1<y$ выполняется с вероятностью 1. Потому что оно всегда верно, для любых допустимых значений $\xi$:

$$\xi^2+1\le 1+1 =2 < y$$

Ничего считать здесь не надо.

[Limit79]

provincialka
Интегралы для того, что я хотел понять, как находить ф.р. через них. Но да ладно, уже по-другому нашел.

Сейчас у меня другой вопрос: по поводу бесконечного разрыва у найденной плотности...