Квантовая физика

[Sicker]

Если мы рассмотрим стационарное состояние электрона с гамильтонианом, включающий в себя электромагнитное взаимодействие при помощи потенциалов, то если скажем мы сделаем калибровочное преобразование полей, гамильтониан изменится, и теперь у электрона поменяется волновая функция стационарного состояния
Правильно ли я понимаю, что изменится тогда волновая функция в импульсном представлении, те распределение вероятности импульсов? А обобщенный импульс(+векторный потенциал) останется тем же?
В этом и заключается эффект Аарона-Бома?

[amon]

Sicker в сообщении #957322 писал(а):

мы сделаем калибровочное преобразование полей,

Давайте аккуратно.
1. Калибровочное преобразование преобразует не измеряемые величины (потенциалы и волновые функции). Все измеряемые величины должны сохраниться. Поэтому
2. Волновые функции (в любом представлении) изменятся, а вероятности (чего угодно) - нет.
3. Эффект Ааронова-Бома заключается в том, что гамильтониан зависит от потенциалов, а не полей. Потенциалы не равны нулю, там, где поля нулевые , поэтому заряженная частица знает, что где-то поле не ноль, хотя там, где она (ее волновой пакет сосредоточен) поле ноль. Изменение калибровки величины эффекта, естественно, не меняет.

[Sicker]

еще такой небольшой вопрос, если мы рассмотрим волновую функцию, соответствующую определенному значению какой-то физической величины в базисе собственных функций оператора это физ величины, то она будет представлять собой дельта-функцию, но дельта-функция не относится к классу функций, интегрируемых с квадратом, тк ее квадрат не определен
Получается обычным путем нельзя посчитать вероятность?

-- 06.01.2015, 17:13 --

amon в сообщении #957339 писал(а):

2. Волновые функции (в любом представлении) изменятся, а вероятности (чего угодно) - нет.

В ЛЛ$3 говорится, что не изменятся наблюдаемые величины, и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс?

-- 06.01.2015, 17:15 --

И очевидно что он изменится тк мы может подходящей калибровкой как угодно поменять фазы волновой функции

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #957340 писал(а):

еще такой небольшой вопрос, если мы рассмотрим волновую функцию, соответствующую определенному значению какой-то физической величины в базисе собственных функций оператора это физ величины, то она будет представлять собой дельта-функцию, но дельта-функция не относится к классу функций, интегрируемых с квадратом, тк ее квадрат не определен
Получается обычным путем нельзя посчитать вероятность?

Вы путаете собственные функции и обобщенные собственные функции, которые не принадлежат к нашему гильбертовому пространству.

[Sicker]

а что с обобщенными собственными функциями?
(да практически все собственные функции операторов основных физических величин обобщенные-координаты, импульса, момента импульса, энергии)

-- 06.01.2015, 17:22 --

и покажите мне непрерывный(континиитуальный) набор функций, которые составляют ортонормированный базис и при этом они хорошо интегрируемы с квадратом

[amon]

Sicker в сообщении #957340 писал(а):

и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс? И очевидно что он изменится тк мы может подходящей калибровкой как угодно поменять фазы волновой функции

Вам не приходило в голову, что "аналогичный случай с коровой Машкой" случается в классической механике? Мы можем сосчитать $m\dot{x}$, а можем $m\dot{x}+\frac{e}{c}A$, и получим разные числа. Причем, последняя величина явно зависит от калибровки.

[Sicker]

amon в сообщении #957352 писал(а):

Причем, последняя величина явно зависит от калибровки.

как раз независит, а $p$ зависит
так в ландавшице написано

-- 06.01.2015, 17:26 --

если я не путаю ничего

-- 06.01.2015, 17:28 --

а в классической механике обобщенный импульс сохраняется, когда везде $\varphi=0$?

[amon]

Sicker в сообщении #957356 писал(а):

как раз независит, а $p$ зависит
так в ландавшице написано

Я, действительно, нечетко написал, сейчас подправил. Тем не менее, одна или обе эти величины от калибровки зависят. В общем, как я понимаю, Вы все поняли.

[Sicker]

amon в сообщении #957368 писал(а):

Я, действительно, нечетко написал, сейчас подправил.

вы только импульс расписали, да я и так думал что он не обобщенный

amon в сообщении #957368 писал(а):

Тем не менее, одна или обе эти величины от калибровки зависят

а как же то что калибровочное преобразование не меняет наблюдаемых величин

amon в сообщении #957368 писал(а):

В общем, как я понимаю, Вы все поняли.

нет, к сожалению, я вообще ничего не понял

[Munin]

Sicker
Я заметил, что вы сначала спрашиваете какую-то невероятную чушь, а потом сами успешно разбираетесь по учебникам. Почему бы вам не попробовать эту стадию проделать сначала, молча?

[amon]

Munin в сообщении #957409 писал(а):

Я заметил, что вы сначала спрашиваете какую-то невероятную чушь, а потом сами успешно разбираетесь по учебникам. Почему бы вам не попробовать эту стадию проделать сначала, молча?

А пообщаться?

Sicker в сообщении #957340 писал(а):

В ЛЛ$3 говорится, что не изменятся наблюдаемые величины, и одна из них обобщенный импульс частицы в элетромагнитном поле
Но мы же можем наблюдать и обычный импульс?

Тут я неаккуратно написал, прошу извинить. Мысль была простая. Обычный и обобщенный импульс не могут одновременно быть калибровочно инвариантными, (для простоты случай одномерный, все массы, заряды, скорости - единицы) поскольку:
Функция Лагранжа

$$\mathcal{L}=\frac{\dot{x}^2}{2}+\dot{x}A(x)$$

Обобщенный импульс

$$P=\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial\dot{x}}=\dot{x}+A$$

К стати, где Ландау говорит, что обобщенный импульс калибровочно инвариантен?

[Sicker]

ну блин, а тогда что вообще сохраняется при калибровочных преобразованиях?

(Оффтоп)

Munin

[Munin]

Вопрос скорее в том, кто из них наблюдаемый :-)

-- 06.01.2015 18:39:19 --

Sicker
Я серьёзно. Вы слишком разгильдяйствуете. Попробуйте зажать себя в кулак. "Пообщаться" - это amon-у простительно, а не вам.

[Cos(x-pi/2)]

Sicker
Если Вы спрашиваете не "из праздного любопытства", а "взаправду", то давайте разберём самый простой пример, почти очевидный.

Идея примера такая. Возьмём стандартное у.Ш. для свободной частицы (т.е. в отсутствие всяких потенциалов), выпишем его частное решение с определённым импульсом, и выпишем его общее решение - с произвольным распределением вероятностей для импульса. Затем выполним калибровочное преобразование с произвольной калибровочной функцией $\gamma (\mathbf{r})$; для простоты пусть $\gamma$ будет без зависимости от времени: тогда скалярной добавки к гамильтониану не будет, а векторная добавка к обобщённому импульсу уже появится. И посмотрим, как изменилось распределение вероятностей для импульса. Итак, понеслась:

1). Ур-е Ш. для свободной частицы имеет вид (для простоты записи постоянную Планка полагаем равной единице):

$i\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla)^2}{2m} \Psi$ .

Как известно (или элементарно проверяется), частным решением является плоская волна $\Psi_{\mathbf{p}}(\mathbf{r},t)$ c вектором импульса $\mathbf{p}$:

$\Psi_{\mathbf{p}}=\frac{1}{\sqrt{V}} e^{i\mathbf{p} \cdot \mathbf{r} - i E_{\mathbf{p}}t}$ .

(Подразумеваю нормировку в ящике объёмом $V$, с условиями периодичности.) Почему мы считаем, что эта функция описывает состояние с нефлуктуирующим импульсом, причём равным именно $\mathbf{p}$? Потому что она собственная для оператора импульса $-i \nabla$:

$-i \nabla \, \Psi_{\mathbf{p}} = \mathbf{p} \, \Psi_{\mathbf{p}}$ .

Общее решение $\Psi(\mathbf{r},t)$ у.Ш. свободной частицы запишется в виде линейной комбинации таких плоских волн с произвольными коэффициентами $C_{\mathbf{p}}$:

$\Psi=\sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} \Psi_{\mathbf{p}}$ .

Почему мы считаем, что $|C_{\mathbf{p}}|^2$ есть распределение вероятностей для импульсов? Потому что вычисление среднего значения импульса по стандартному правилу с учётом ортонормировки плоских волн приводит к формуле "мат. ожидания" вида:

$<\mathbf{p}> \, = \,\int dV \Psi^* (-i \nabla) \Psi = \sum_{\mathbf{p}} \mathbf{p} |C_{\mathbf{p}}|^2$ .


2). Выполняем калибровочное пр-е; это значит заменяем волновую функцию $\Psi$ новой волновой функцией $\Phi$ по формуле

$\Phi = e^{i \gamma} \Psi$

и заменяем оператор $(-i \nabla)$, который теперь имеет смысл лишь "обобщённого импульса", удлинённым оператором $\hat {\mathbf{p}}$, который, по определению, имеет смысл "настоящего" (кинематического) импульса:

$\hat {\mathbf{p}}=-i \nabla - (\nabla \gamma)$ .

Проверяется, что новая волновая функция (как частная, так и общая) удовлетворяет ур-ю Ш. с удлинённым оператором импульса:

$i\frac{\partial \Phi}{\partial t}=\frac{(-i \nabla -(\nabla \gamma))^2}{2m} \Phi$ .


3). Наконец, разбираемся с "физ. смыслом" новых в.ф-й. Замечаем, что поскольку новая частная функция, т.е. $\Phi_{\mathbf{p}} = e^{i \gamma} \Psi_{\mathbf{p}}$ с прежним вектором $\mathbf{p},$ есть собственная функция для удлинённого оператора импульса:

$\hat {\mathbf{p}} \Phi_{\mathbf{p}} = \mathbf{p} \Phi_{\mathbf{p}}$ ,

то этот вектор $\mathbf{p}$ есть по-прежнему не флуктуирующий вектор импульса в данном квантовом состоянии. Аналогично, вычисляя среднее значение удлинённого оператора импульса для общего решения, т.е. для

$\Phi = e^{i \gamma} \Psi = \sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} e^{i \gamma} \Psi_{\mathbf{p}}=\sum_{\mathbf{p}} C_{\mathbf{p}} \Phi_{\mathbf{p}}$ ,

мы получаем прежнюю формулу "мат. ожидания":

$<\mathbf{p}>\,=\, \langle \Phi | (-i \nabla - (\nabla \gamma)) | \Phi \rangle = \sum_{\mathbf{p}} \mathbf{p} |C_{\mathbf{p}}|^2$ .

Это и означает, что при калибровочном преобразовании волновой функции распределение вероятностей для импульса не изменилось.

[Red_Herring]

Разумеется мы не можем произвольно точно определить весь импульс $-i\hbar\nabla -\mathbf{A}$, а только его отдельные компоненты или его квадрат (поскольку при наличии магнитного поля эти операторы не коммутируют). С другой стороны компоненты обобщенного импульса $i\hbar\nabla$ коммутируют.