2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:04 
Аватара пользователя
Есть такая теорема. Если неубывающая (невозрастающая) монотонная последовательность ограничена сверху (снизу), то она сходится.
Как эту теорему применить для того, чтобы доказать сходимость этой последовательности: $x_n=\left(1-\frac 1 2 \right)\left(1-\frac 1 4 \right)...\left(1-\frac 1 2^n \right)$ ?

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:05 
Аватара пользователя
А какую часть условия теоремы вы уже доказали?

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:09 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957280 писал(а):
А какую часть условия теоремы вы уже доказали?

А как здесь вообще что- то доказывать? Я не понимаю. Думаю, последовательность сверху ограничена, судя по первому множителю. Так?

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:10 
Аватара пользователя
Вы сначала проверьте, возрастает она или убывает. а потом увидим, с какой стороны ее ограничивать.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:11 
Аватара пользователя
provincialka в сообщении #957283 писал(а):
Вы сначала проверьте, возрастает она или убывает. а потом увидим, с какой стороны ее ограничивать.

Убывает

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:13 
Аватара пользователя
fronnya
Покажите доказательство этого факта.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:17 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957286 писал(а):
fronnya
Покажите доказательство этого факта.

Как ? $1-1/2<1-1/4<...<1-1/2^n$

-- 06.01.2015, 15:18 --

ЧерТ! Возрастает!

-- 06.01.2015, 15:18 --

Там знаки поменять надо на противоположеные

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:18 
Аватара пользователя
fronnya в сообщении #957289 писал(а):
$1-1/2>1-1/4>...>1-1/2^n$
Это
1. неверно
2. не имеет отношения к делу.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:19 
Аватара пользователя
fronnya

По определению.

Что значит последовательность возр или уб ?

Рассмотрите разность например $x_{k}-x_{k+1}........$ определите знак такой разности и сделайте вывод

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:20 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957292 писал(а):
Рассмотрите разность

Лучше отношение

-- 06.01.2015, 16:21 --

fronnya в сообщении #957289 писал(а):
ЧерТ! Возрастает!

Возрастает, но это не исходная последовательность

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:21 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957292 писал(а):
fronnya

По определению.

Что значит последовательность возр или уб ?

Рассмотрите разность например $x_{k}-x_{k+1}........$ определите знак такой разности и сделайте вывод

Ааа, точно. Ну тогда так $\left[(1-1/2^k)-(1-1/2^{k-1})\right]>0$

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:23 
Аватара пользователя
provincialka

(Оффтоп)

А почему бы разность не посмотреть......может я не так пос-ть понял......$x_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}$


Цитата:
Ааа, точно. Ну тогда так $\left[(1-1/2^k)-(1-1/2^{k-1})\right]>0$


приведите более подробные выкладки

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:24 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957296 писал(а):
может я не так пос-ть понял......$x_{k}=1-\frac{1}{2^{k}}$

Не так поняли.

-- 06.01.2015, 16:26 --

fronnya
И вы не так последовательность поняли. Ну-ка, выпишите несколько первых ее членов.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:27 
Аватара пользователя
maxmatem в сообщении #957296 писал(а):
приведите более подробные выкладки

А что тут ещё писать ? Это же очевидно, что оно так.

 
 
 
 Re: Теорема о существовании предела монотонной последовательност
Сообщение06.01.2015, 16:27 
Аватара пользователя
fronnya
Я не так понял вашу последовательность, тогда лучше прислушайтесь к provincialka.

Я сейчас немного перестроюсь и включусь в разговор

 
 
 [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group