неприводимое пространство

[Munin]

Ого. Я думал, такое заметное явление в культуре не могло пройти мимо вашего письменного стола.

[amon]

(Оффтоп)

Мимо не прошло, но лежало без движения - повода заглянуть не было. Я из профессионалов физики эл. частиц давно ушел в болельщики-любители. А для этого Фаддеева, Попова - Коноплевой хватало. IMHO, в этих науках за последние лет 30 мало что поменялось (может брюзжу). А теперь хоть повод почитать это чудо появился.

[illuminates]

А если взять матрицы Дирака размерности большей чем четыре (понятное дело чётной), то оно будет описывать частицы со спином больше чем 1/2? Если нет, то что оно будет описывать?

[illuminates]

Или скажем предполагать, что это не матрицы, а тензоры большей размерности?

[Munin]

illuminates
Спин большей величины ($n\times\tfrac{1}{2}$) делается так:
1. Берут тензорное произведение $n$ представлений Дирака.
2. Раскладывают его в сумму неприводимых представлений.
3. Оставляют представление с наибольшей размерностью, а все остальные отбрасывают - оно и будет нужным спинором.

Проще всего с этим попрактиковаться не на матрицах Дирака, а на матрицах Паули. Если взять два электрона, то их спины будут образовывать представления такой размерности:
$2\otimes 2=3\oplus 1$
- то есть, два двухкомпонентных спинора (спина $\tfrac{1}{2}$), взятые в тензорном произведении, дадут сумму двух представлений: трёхкомпонентного (спина $1,$ в просторечии вектор) и однокомпонентного (спина $0,$ в просторечии скаляр). Заодно, в данной задаче они называются триплетным и синглетным состояниями двух электронов: в триплетном состоянии "спины сонаправлены", а в синглетном "противонаправлены", и это свойство сохраняется, как ни поворачивать систему координат.

Если взять три электрона, то соответствующее произведение разложится как:
$2\otimes 2\otimes 2=(3\oplus 1)\otimes 2=(3\otimes 2)\oplus(1\otimes 2)=4\oplus 2\oplus 2$
и так далее (если пользоваться соотношением $k\otimes 2=(k+1)\oplus(k-1)$).

[illuminates]

Munin
Интересно, что когда я разбирал сложение двух спинов (в Коене), то они просто складывались, и получалось сумма двух представлений: трёхкомпонентного и однокомпонентного. Без всяких идей о $2\otimes 2=3\oplus 1$.

А всё же, если с взять эти матрицы большей размерности, или сделать из них тензоры большего ранга? ничего хорошего не выйдет?

[Munin]

illuminates в сообщении #957106 писал(а):

Интересно, что когда я разбирал сложение двух спинов (в Коене), то они просто складывались, и получалось сумма двух представлений: трёхкомпонентного и однокомпонентного. Без всяких идей о $2\otimes 2=3\oplus 1$.

Эти идеи - просто более общее изложение того же самого :-) В явном виде эту формулу пишут не во всяком учебнике - чаще в математических, или в довольно современных и углублённых физических. Ну и, надо сказать, эта формула не строгая, а так, "заметка на полях", подсказка самому себе.

Интересно становится в случаях, когда мы берём не группу $SU(2),$ описывающую спины, а скажем, группу $SU(3),$ описывающую ароматы кварков, и получаем формулы, описывающие мультиплеты мезонов и барионов:
$3\otimes\bar{3}=8\oplus 1$
$3\otimes 3\otimes 3=10\oplus 8\oplus 8\oplus 1$

illuminates в сообщении #957106 писал(а):

А всё же, если с взять эти матрицы большей размерности, или сделать из них тензоры большего ранга? ничего хорошего не выйдет?

Выйдет либо то, что я вам рассказал, либо то, что раскладывается на то, что я вам рассказал.

Попробуйте сунуться в книжку
Хелзен, Мартин. Кварки и лептоны.
глава 2 "Симметрии и кварки", там это довольно наглядно и с картинками.

[illuminates]

(Оффтоп)

Munin
А лучше КТП с неё начинать (вроде хорошо пошла), или с Боголюбова, или с Пескина, или с Ициксона?
(уровень подготовки, не слишком большой, только Коен Таннуджи, и релятивистские дела там и сям почитал. Или вообще сначала Рубакова почитать?)

[Munin]

illuminates в сообщении #957278 писал(а):

А лучше КТП с неё начинать (вроде хорошо пошла), или с Боголюбова, или с Пескина, или с Ициксона?

Если хорошо пошла - то лучше с неё. Но имейте в виду, что эта книжка - "несерьёзная" в плане КТП, то есть, показывает некоторое подножье айсберга, если смотреть на него со стороны экспериментально наблюдаемых величин и их расчётов. Но при этом, не даёт полноценного связного понятийного аппарата - что такое, вообще, квантовое поле, что такое квантование, в каком смысле оно тут упоминается. Так что, имейте в виду, что после этой книги потребуется второй заход, более серьёзный. Уже по Пескину-Шрёдеру или Боголюбову-Ширкову, это наиболее популярные рекомендации, и вполне заслуженно.

Рубакова можно после Хелзена-Мартина, и параллельно "второму заходу на КТП". А если торопитесь, то и перед ним. Он тоже вкусный и хорошо идёт.

Главная идея, которую надо уловить: релятивистские дела принципиально меняют ситуацию, в том смысле, что не позволяют почивать на уровне квантовой механики - необходимо переходить к понятию квантового поля. Квантовое поле можно представлять себе:
- как квантовую механику произвольного, и переменного, числа частиц (вторичное квантование можно почитать в любом учебнике КМ, оттуда надо понять, что такое пространство Фока); среди квантовых переходов будут переходы, рождающие и уничтожающие частицы;
- как квантовую механику неких абстрактных "осцилляторов поля", которые с одной стороны связаны с реальными полями, а с другой стороны, их лесенка возбуждённых состояний соответствует разному числу частиц в пространстве: нижний уровень - 0 частиц, следующий возбуждённый уровень - 1 частица, следующий - 2 частицы (в одинаковых состояниях), и так далее;
- и как квантовую механику некоторой бесконечномерной механической системы, которая есть собственно обычное реальное поле, а отдельные обобщённые координаты этой системы - это значения поля в разных точках пространства.
Эти разные обличья между собой математически эквивалентны. Но работать с этой математикой ещё сложней и непривычней, чем с математикой обычной КМ, так что серьёзный полноценный учебник будет долго вязнуть в зубах. Хорошо, если удастся уловить какие-то идеи на понятном и поверхностном уровне.

[illuminates]

Спасибо Munin и Red_Herring за помощь!