Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)

[DLL]

На этот раз совсем простое УРЧП на функцию $g(x,y)$:
$g_{xx} g_{yy} - g_{xy}^2=0.$

Легко угадывается решение: $g(x,y) = F(C_1 x + C_2 y)$.
А что-нибудь еще?

[пианист]

Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

[ИСН]

Вы ищете поверхности с нулевой гауссовой кривизной. Годятся цилиндры любого профиля, а вот есть ли что-то ещё...

[DLL]

пианист в сообщении #923497 писал(а):

Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

Возьмем простейший нетривиальный случай: $g_x = (g_y)^2$.
Что-нибудь хорошее про него можно придумать?

[ИСН]

$g=-{y^2\over4x}$, например.

Да, есть.

-- менее минуты назад --

А! Ну что за глупости я несу. Точно так же, как любые цилиндры, годятся любые конусы и ещё куча барахла.

[DLL]

Не ну понятно, что можно построить решение методом разделения переменных
В общем-то ввиду нетривиальности группы точечных симметрий этого уравнения (алгебра Ли которой 10-мерна), можно, если повезет, построить решение зависящее от 10 произвольных констант.

А вот нечто более общее?

[пианист]

DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

[пианист]

Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:

$$ \begin{cases} y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\ g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))), \end{cases} $$

$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

[DLL]

пианист в сообщении #923864 писал(а):

DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

Можете этот момент пояснить?

[пианист]

Общее решение уравнения с частными производными первого порядка общего вида
$H(x_1,x_2,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n})=0$
сводится к интегралу некоторой системы оду.
Технику этого дела можно глянуть, например, в Куранте (Р.Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики. Том II. Мир 1964. В сети есть, если что, читать надо 71 стр. и дальше).
Конкретно для уравнения, про которое шла речь, я это общее решение выписал.

[DLL]

Спасибо!

[DLL]

Интересно, трактовка этого уравнения как поверхности с нулевой гауссовой кривизной.
По-видимому этот вопрос изучали. Может есть ответ в каких-то обозримых терминах.
Вот например есть статья: http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1178244205
P.S: там имеется теорема: A complete surface of Gaussian curvature 0 in Euclidean 3-space is a cylinder, там правда есть существенно "hypothesis of completeness", а меня интересуют с большего решение исходного уравнение локально...

[DLL]

пианист в сообщении #924005 писал(а):

Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:

$$ \begin{cases} y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\ g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))), \end{cases} $$

$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

Интересно. Относительно $x, y$ исходное уравнение симметрично.
А в общем решении присутствует некая асимметрия

[пианист]

Дык я же порушил симметрию, уже когда положил $g_x=\psi(g_y)$, а не наоборот.
Да и когда решаешь учппп, там надо выбирать, где задавать начальные условия - очень, я бы сказал, не-эстетичная процедура.
По идее, решение должно записываться в симметричном виде, да.

[DLL]

А вот кстати есть интересная теорема (Corrollary 3'), по ней поверхность с нулевой гауссовой кривизной локально можно представить в следующем виде:
$g = a_1(u)v + b_1(u)$
$s = a_2(u)v + b_2(u)$
$t = a_3(u)v + b_3(u)$