2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 14:36 
Аватара пользователя


12/03/11
688
На этот раз совсем простое УРЧП на функцию $g(x,y)$:
$g_{xx} g_{yy} - g_{xy}^2=0.$

Легко угадывается решение: $g(x,y) = F(C_1 x + C_2 y)$.
А что-нибудь еще? :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 15:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение27.10.2014, 16:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
Вы ищете поверхности с нулевой гауссовой кривизной. Годятся цилиндры любого профиля, а вот есть ли что-то ещё... :roll: :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 17:25 
Аватара пользователя


12/03/11
688
пианист в сообщении #923497 писал(а):
Если не считать особых случаев, это же равносильно $g_x=\psi(g_y)$ с произвольной функцией $\psi$.

Возьмем простейший нетривиальный случай: $g_x = (g_y)^2$.
Что-нибудь хорошее про него можно придумать? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/05/06
13435
с Территории
$g=-{y^2\over4x}$, например.
:shock:
Да, есть.

-- менее минуты назад --

А! Ну что за глупости я несу. Точно так же, как любые цилиндры, годятся любые конусы и ещё куча барахла.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 19:52 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Не ну понятно, что можно построить решение методом разделения переменных :-)
В общем-то ввиду нетривиальности группы точечных симметрий этого уравнения (алгебра Ли которой 10-мерна), можно, если повезет, построить решение зависящее от 10 произвольных констант.

А вот нечто более общее? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение28.10.2014, 20:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 07:11 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:
$$
\begin{cases}
y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\
g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))),
\end{cases}
$$
$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 09:40 
Аватара пользователя


12/03/11
688
пианист в сообщении #923864 писал(а):
DLL
Не совсем понял. Для учп первого порядка есть общее решение - оно чем-то не устраивает?

Можете этот момент пояснить? :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 11:07 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Общее решение уравнения с частными производными первого порядка общего вида
$H(x_1,x_2,...,x_n,u,\frac{\partial u}{\partial x_1},\frac{\partial u}{\partial x_2},...,\frac{\partial u}{\partial x_n})=0$
сводится к интегралу некоторой системы оду.
Технику этого дела можно глянуть, например, в Куранте (Р.Курант, Д.Гильберт. Методы математической физики. Том II. Мир 1964. В сети есть, если что, читать надо 71 стр. и дальше).
Конкретно для уравнения, про которое шла речь, я это общее решение выписал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение29.10.2014, 20:44 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение03.11.2014, 17:43 
Аватара пользователя


12/03/11
688
Интересно, трактовка этого уравнения как поверхности с нулевой гауссовой кривизной.
По-видимому этот вопрос изучали. Может есть ответ в каких-то обозримых терминах.
Вот например есть статья: http://projecteuclid.org/download/pdf_1 ... 1178244205
P.S: там имеется теорема: A complete surface of Gaussian curvature 0 in Euclidean 3-space is a cylinder, там правда есть существенно "hypothesis of completeness", а меня интересуют с большего решение исходного уравнение локально...

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение03.01.2015, 15:55 
Аватара пользователя


12/03/11
688
пианист в сообщении #924005 писал(а):
Правду сказать, в данном конкретном случае общее решение радости не доставляет:
$$
\begin{cases}
y=\mu-x\psi'(\varphi'(\mu)),\\
g=\varphi(\mu)+x(\psi(\varphi'(\mu))-\varphi'(\mu)\psi'(\varphi'(\mu))),
\end{cases}
$$
$\varphi$ - произвольная функция, $\mu$ - параметр.
Даже просто подстановка в уравнение с целью убедиться, что это действительно решение, требует некоторых усилий.
Наверное, можно его компактнее записать, но не знаю, как.

Интересно. Относительно $x, y$ исходное уравнение симметрично.
А в общем решении присутствует некая асимметрия :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение04.01.2015, 19:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2147
МО
Дык я же порушил симметрию, уже когда положил $g_x=\psi(g_y)$, а не наоборот.
Да и когда решаешь учппп, там надо выбирать, где задавать начальные условия - очень, я бы сказал, не-эстетичная процедура.
По идее, решение должно записываться в симметричном виде, да.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простенькое нелинейное УРЧП второго порядка :)
Сообщение05.01.2015, 23:57 
Аватара пользователя


12/03/11
688
А вот кстати есть интересная теорема (Corrollary 3'), по ней поверхность с нулевой гауссовой кривизной локально можно представить в следующем виде:
$g = a_1(u)v + b_1(u)$
$s = a_2(u)v + b_2(u)$
$t = a_3(u)v + b_3(u)$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 15 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group