Магнитная стрелка внутри соленоида

[tech]

Здравствуйте.
Есть следующая задача:
Внутри длинного соленоида с плотностью намотки витков $n$, замкнутого на резистор с сопротивлением $R$, расположена небольшая магнитная стрелка с магнитным моментом $p_m$. Ось стрелки перпендикулярна оси соленоида (см. рис.). Какой заряд $q$ протечет через сопротивление $R$ при повороте стрелки на $90^\circ$?

Единственное, что приходит мне в голову – это ЗСЭ. В конечном итоге работа внешних сил полностью ушла в джоулево тепло.
В процессе же было так: $\delta A_{out}=dW+Qdt$, где $Q$ – мощность джоулевых потерь, а $W=\frac{LI^2}{2}-(\overline p_m,\overline B)$ – магнитная энергия.
Но, видимо, это выражение не даёт ничего хорошего, тем более что найти-то надо $q=\int \limits_{0}^{+\infty} I(t)dt$.
Подскажите, пожалуйста, идею/первый шаг в этой задаче.

[Mihr]

Вспомните закон электромагнитной индукции, а также закон Ома - это из физики.
Из математики - операцию интегрирования.

[tech]

Так?

$$JR=-\frac{d \varPhi(t)}{dt}$$

$$q=-\int \limits_{0}^{\infty} \frac{1}{R} \frac{d \varPhi(t)}{dt} dt=-\frac{1}{R}(\varPhi(\infty)-\varPhi(0))$$

$\varPhi(0)$ – до поворота, $\varPhi(\infty)$ – после.
$\varPhi(0)=0$, а как найти $\varPhi(\infty)$ – поток диполя через соленоид? Эта величина должна ведь зависеть от радиуса катушки, а он неизвестен.

[mihiv]

А как вы получили, что $\varPhi (0)=0$ ?

[tech]

Изобразил силовые линии диполя, перпендикулярного оси соленоида, и увидел, что поток поля диполя через одну половину соленоида компенсируется потоком через другую половину.

[mihiv]

Так же можно действовать, когда ось диполя параллельна оси соленоида.

[tech]

Но в этом случае поток через одну половину будет равен потоку через другую половину, и их знаки будут одинаковы (я имею в виду части, на которые соленоид делится плоскостью, проходящей перпендикулярно его оси через точку, в которой находится диполь).
Что же делать?

[mihiv]

tech в сообщении #956898 писал(а):

и их знаки будут одинаковы

Так ли ?

-- Пн янв 05, 2015 23:03:54 --

mihiv в сообщении #956909 писал(а):

tech в сообщении #956898 писал(а):

и их знаки будут одинаковы

Так ли ?

А нет, прошу прощения, знаки действительно одинаковы.

[Mihr]

tech,
Прошу прощения, долго отсутствовал.
Думаю, Вы уже разобрались.
На всякий случай отвечу на вопрос

tech в сообщении #956759 писал(а):

а как найти $\varPhi(\infty)$ – поток диполя через соленоид?

Здесь, вероятно, единственный разумный путь - воспользоваться инвариантностью коэффициента взаимоиндукции относительно перестановки индексов:
$L_{12}=L_{21}$ (1)
Давайте для начала представим себе, что наш магнитный диполь - это маленькое колечко с током. Пусть величина тока равна $I$. Поскольку дипольный момент известен, то через него и через введённую нами величину $I$ легко выразить площадь колечка.
Теперь представим себе, что дело обстоит наоборот: ток течёт не по колечку, а по обмотке соленоида (кстати, раз соленоид длинный, его радиус не имеет значения).
В силу указанной инвариантности (равенство (1)) магнитный поток через колечко в этом случае в точности равен магнитному потоку через витки соленоида, порождаемому диполем.
Дальше, я думаю, закончить решение совсем не трудно.