Вычисление предела с помощью формулы Тейлора

[integer]

Как вычислять предел функции с помощью формулы Тейлора?

-- 04.01.2015, 21:25 --

Что делать, если в знаменателе стоит $x$ в какой-нибудь степени? До какой степени тогда раскладывать числитель?

[StaticZero]

Вот пример:

$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x^3} $$

Как думаете, до какой степени разложить нужно?

[integer]

StaticZero
До первой?

[gris]

а потом ещё рассмотреть

$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3} $$

Степень одинаковая, а разложение?

[integer]

gris
в Вашем примере до третьей степени?

[StaticZero]

integer в сообщении #956459 писал(а):

в Вашем примере до третьей степени?

Тоже можно до первой. До третьей. Вы что-нибудь слышали о "порядке малости" одной бесконечно малой относительно другой?

[Otta]

StaticZero в сообщении #956462 писал(а):

Тоже можно до первой.

Чё это?

[integer]

StaticZero в сообщении #956462 писал(а):

Тоже можно до первой. Вы что-нибудь слышали о "порядке малости" одной бесконечно малой относительно другой? (хотя, формально, лучше до третьей - сразу видно, откуда растут ноги).

Слышал, конечно. Но как это использовать в данном примере я придумать не могу.

[StaticZero]

Otta в сообщении #956464 писал(а):

Чё это?

Перепутал под вечер, прошу прощения.

-- 04.01.2015, 23:07 --

integer в сообщении #956465 писал(а):

Но как это использовать в данном примере я придумать не могу.

Если разложить до первой степени (как я очень удачно сделал ), то вверху образуется "голый" ноль, а снизу нечто, что к нему стремится. Значит, членов в разложении не хватает. Но если понабрать всяких разных членов степенью больше степени значенателя, то они дадут нулевой вклад:

$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x^5}{120x^3} = 0 $$

$$ \lim \limits_{x \to 0} -\dfrac{x^7}{5040x^3} = 0 $$

и т.д.

Поэтому целесообразно разложить в этом примере до третьей степени, и тогда все иксы уничтожатся, останется просто константа.

[ewert]

integer в сообщении #956437 писал(а):

Как вычислять предел функции с помощью формулы Тейлора?

Очень просто. Надо тупо выписывать что в числителе, что в знаменателе, что ещё во чём -- не только явные выражения для членов той формулы, но ещё и честные оценки остатка. В форме хоть Пеано, хоть кого угодно.

И вот тогда (но только лишь тогда, лишь когда Вы будете выписывать эти члены именно честно) -- никаких проблем не возникнет. Тогда Вам сразу станет ясно: то ли Вы достаточное к-во членов учли, и ответ очевиден -- то ли заведомо недостаточное, т.е. в пределах этой точности ответ невозможен. Ну в последнем случае Вы себя автоматически и скорректируете.