2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:10 
Как вычислять предел функции с помощью формулы Тейлора?

-- 04.01.2015, 21:25 --

Что делать, если в знаменателе стоит $x$ в какой-нибудь степени? До какой степени тогда раскладывать числитель?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:38 
Аватара пользователя
Вот пример:
$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x^3} $$

Как думаете, до какой степени разложить нужно?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:43 
StaticZero
До первой?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:43 
Аватара пользователя
а потом ещё рассмотреть
$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x-\sin x}{x^3} $$
Степень одинаковая, а разложение?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:45 
gris
в Вашем примере до третьей степени?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:49 
Аватара пользователя
integer в сообщении #956459 писал(а):
в Вашем примере до третьей степени?


Тоже можно до первой. До третьей. Вы что-нибудь слышали о "порядке малости" одной бесконечно малой относительно другой?

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:52 
StaticZero в сообщении #956462 писал(а):
Тоже можно до первой.

Чё это? :shock:

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:53 
StaticZero в сообщении #956462 писал(а):
Тоже можно до первой. Вы что-нибудь слышали о "порядке малости" одной бесконечно малой относительно другой? (хотя, формально, лучше до третьей - сразу видно, откуда растут ноги).

Слышал, конечно. Но как это использовать в данном примере я придумать не могу.

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:55 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #956464 писал(а):
Чё это? :shock:


Перепутал под вечер, прошу прощения.

-- 04.01.2015, 23:07 --

integer в сообщении #956465 писал(а):
Но как это использовать в данном примере я придумать не могу.


Если разложить до первой степени (как я очень удачно сделал :facepalm:), то вверху образуется "голый" ноль, а снизу нечто, что к нему стремится. Значит, членов в разложении не хватает. Но если понабрать всяких разных членов степенью больше степени значенателя, то они дадут нулевой вклад:
$$ \lim \limits_{x \to 0} \dfrac{x^5}{120x^3} = 0 $$
$$ \lim \limits_{x \to 0} -\dfrac{x^7}{5040x^3} = 0 $$
и т.д.

Поэтому целесообразно разложить в этом примере до третьей степени, и тогда все иксы уничтожатся, останется просто константа.

 
 
 
 Re: Вычисление предела с помощью формулы Тейлора
Сообщение04.01.2015, 23:33 
integer в сообщении #956437 писал(а):
Как вычислять предел функции с помощью формулы Тейлора?

Очень просто. Надо тупо выписывать что в числителе, что в знаменателе, что ещё во чём -- не только явные выражения для членов той формулы, но ещё и честные оценки остатка. В форме хоть Пеано, хоть кого угодно.

И вот тогда (но только лишь тогда, лишь когда Вы будете выписывать эти члены именно честно) -- никаких проблем не возникнет. Тогда Вам сразу станет ясно: то ли Вы достаточное к-во членов учли, и ответ очевиден -- то ли заведомо недостаточное, т.е. в пределах этой точности ответ невозможен. Ну в последнем случае Вы себя автоматически и скорректируете.

 
 
 [ Сообщений: 10 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group