Ряд Тейлора

[Mig29]

Здравствуйте. Можно ли утверждать, что если функция $f(x)$ равномерно непрерывная в некоторой окрестности точки $x_0$, то в этой окрестности она совпадает с своим рядом Тейлора:

$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n}$ ?

[Otta]

Нет. Из равномерной непрерывности так много не следует. Совпадение с рядом Тейлора в окрестности - это очень мощное условие.

[Mig29]

Otta в сообщении #956463 писал(а):

Нет. Из равномерной непрерывности так много не следует. Совпадение с рядом Тейлора в окрестности - это очень мощное условие.

А из условия, что производная любого порядка данной функции равномерно непрерывная, следует совпадение функции с ее рядом Тейлора?

[provincialka]

А вы проверьте на классическом примере функции, не равной сумме своего ряда Тейлора: будет ли там выполняться ваше условие?

[ex-math]

Тем более, что Ваше условие тривиально вытекает из бесконечной дифференцируемости в точке.

[Mig29]

А есть ли свойство функции, из которого следует совпадение функции с ее рядом Тейлора (кроме стремления к нулю остаточного члена)?

[provincialka]

Нет (насколько я знаю). Такие функции называются аналитическими.

[mihailm]

Да есть, в определении функции не должны участвовать функции типа $e^\frac{-1}{x^2}$)