2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:45 
Аватара пользователя
Здравствуйте. Можно ли утверждать, что если функция $f(x)$ равномерно непрерывная в некоторой окрестности точки $x_0$, то в этой окрестности она совпадает с своим рядом Тейлора:

$f(x) = \sum\limits_{n = 0}^\infty  {\frac{{{f^{(n)}}({x_0})}}{{n!}}} {\left( {x - {x_0}} \right)^n}$ ?

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 21:51 
Нет. Из равномерной непрерывности так много не следует. Совпадение с рядом Тейлора в окрестности - это очень мощное условие.

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 22:02 
Аватара пользователя
Otta в сообщении #956463 писал(а):
Нет. Из равномерной непрерывности так много не следует. Совпадение с рядом Тейлора в окрестности - это очень мощное условие.


А из условия, что производная любого порядка данной функции равномерно непрерывная, следует совпадение функции с ее рядом Тейлора?

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 22:12 
Аватара пользователя
А вы проверьте на классическом примере функции, не равной сумме своего ряда Тейлора: будет ли там выполняться ваше условие?

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 22:27 
Аватара пользователя
Тем более, что Ваше условие тривиально вытекает из бесконечной дифференцируемости в точке.

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 23:48 
Аватара пользователя
А есть ли свойство функции, из которого следует совпадение функции с ее рядом Тейлора (кроме стремления к нулю остаточного члена)?

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение04.01.2015, 23:53 
Аватара пользователя
Нет (насколько я знаю). Такие функции называются аналитическими.

 
 
 
 Re: Ряд Тейлора
Сообщение05.01.2015, 00:05 
Да есть, в определении функции не должны участвовать функции типа $e^\frac{-1}{x^2}$)

 
 
 [ Сообщений: 8 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group