Две релятивистские линейки

[мат-ламер]

Вот задачу придумал. Специально для новичков в физике, которые осваивают СТО. Вижу, как тяжело им приходится на этом форуме. Допустим у нас есть две линейки. Можно считать их бесконечными, хотя это не суть важно. Можно считать, что они населены некими одномерными существами. Будем считать, что они размечены на равные (для каждой линейки) единицы расстояния. Существа на каждой линейке считают, что их линейка размечена на истинные метры, в то время как метры на другой линейке короче. Будем считать, что деления разметки помечены целыми числами, и на каждом таком делении расположены часы, которые идут с одинаковой скоростью (в рамках одной линейки, конечно). Будем считать, что часы на каждой линейке синхронизированы. Как это сделать, написано в Сивухине. Некоторые участники нашего форума считают, что этого сделать нельзя. Но существа на линейках нашего форума не читают. Им доступен только Сивухин. Приведу на всякий случай процедуру синхронизации. Ищется середина между нулевыми и первыми часами (по времени отраженного сигнала). Затем из этой середины испускается сигнал, и нулевые и первые часы стартуют по получении сигнала. Дальше аналогично синхронизизируются первые и вторые часы. Только тут надо учесть, что первые часы не стартуют, а их показания во время приёма сигнала передаются затем на вторые часы и в них вводится поправка. Дальше процедуру повторяют по индукции в обе стороны линейки. Случилось так, что одна линейка двигается относительно другой. И получилось так, что когда нулевые часы первой линеки проходили мимо нулевых часов второй линейки, они показывали одинаковое время. (Может они показывали и разное время, но разность эта была учтена далее в виде поправки). И случалось так, что какие-то часы первой линейки проходили мимо часов второй линейки. И вот тут у меня уже возник вопрос, что будет при таких встречах? Все часы первой линейки будут спешить относительно второй? Может все часы второй линейки будут спешить относительно первой? А может какие-то часы первой линейки будут спешить относительно каких-то часов второй линейки? (Между прочим тут есть кое-какая симметрия как между линейками, так и между часами. Что как-то должно повлиять на ответ). Существа с первой линейки, начитавшись Сивухина, считают, что часы второй линейки будут отставть от часов первой линейки, поскольку вторая линейка движется относительно первой, и на ней будет замедляться время с некоторым постоянным коэффициентом. Существа со второй линейки, начитавшись нашего форума, считают, что никакого коэффициента замедления времени нет. Ориентироваться надо сугубо на преобразования Лоренца и считать надо конкретно для каждых часов. Считать долго. И они решили, что в виду полной равноправности линеек и часов, все показания часов будут при встречах одинаковые. Помогите рассудить, кто из них прав?

[JoAx]

мат-ламер в сообщении #955977 писал(а):

Существа со второй линейки, начитавшись нашего форума, считают ...

Мне кажется, что Вы не верно подумали за тех, кто "начитался нашего форума" и всё верно понял.

[fronnya]

(на всякий случай в оффтоп)

Что-то там Овчинкин в своих лекциях рассказывал про это. Я это про видео- лекции МФТИ

[rustot]

$t' - t = t (\gamma - 1) - (\gamma - 1/\gamma)\frac{x}{v}$

соответственно в момент времени $t$ правее координаты $x = \frac{1}{1/\gamma +1} v t \approx (1 + \frac{v^2}{4 c^2} + ...) \frac{v}{2} t $, то есть чуть правее середины отрезка между "нулями" при синхронизации, все часы чужой линейки показывают меньше чем наши, а все левее - больше. со скоростью $\frac{v}{1/\gamma+1}$ вдоль линейки двигается виртуальная точка, в которой показания часов обоих линеек все время совпадают

[casualvisitor]

мат-ламер в сообщении #955977 писал(а):

Существа на каждой линейке считают, что их линейка размечена на истинные метры, в то время как метры на другой линейке короче.

Существа, живущие на линейках, могут развернуть эталонные метры перпедикулярно направлению относительного движения линеек и убедиться, что эти эталоны имеют одинаковую длину. Вот пусть и пользуются одинаковыми метрами, если не хотят запутать себя и других.

мат-ламер в сообщении #955977 писал(а):

Будем считать, что деления разметки помечены целыми числами, и на каждом таком делении расположены часы, которые идут с одинаковой скоростью (в рамках одной линейки, конечно). Будем считать, что часы на каждой линейке синхронизированы.

В идеале хорошо бы иметь в каждой точке пространства часы, принадлежащие данной ИСО. ... Но для чего нужно иметь столько много часов и зачем их нужно синхронизировать? ... Это нужно для того, чтобы максимально упростить сравнение показаний часов, принадлежащих двум ИСО. А именно, чтобы показания данных часов одной ИСО в данный момент времени можно было непосредственно сравнить с показаниями каких-то часов другой ИСО. "Непосредственно" означает "без передачи информации из одной точки пространства в другую" (если сравнивать показания данных часов одной ИСО с показаниями часов другой ИСО, находящимися в др. точке пространства, то придется вносить поправку на то, что информации о показании удаленных часов требовалось время, чтобы достичь нас; а так мы просто смотрим на ближайшие к нам часы каждой ИСО).

мат-ламер в сообщении #955977 писал(а):

Все часы первой линейки будут спешить относительно второй? Может все часы второй линейки будут спешить относительно первой? А может какие-то часы первой линейки будут спешить относительно каких-то часов второй линейки? (Между прочим тут есть кое-какая симметрия как между линейками, так и между часами. Что как-то должно повлиять на ответ).

В какой-то момент времени запишем текущее показание одних каких-то часов одной ("движущейся") ИСО и показания тех часов другой ("неподвижной") ИСО, которые в данный момент находятся в той же точке пространства, что и первые ("движущиеся") часы. Потом (в др. момент времени) запишем показания тех же "движущихся" часов и показания тех часов "неподвижной" ИСО, которые в этот второй момент времени находятся в той же точке пространства, что и первые ("движущиеся") часы. Вычислим разность двух показаний указанных "движущихся" часов и разность показаний указанных двух (заранее синхронизированных, но разных, находящихся в разных местах!) "неподвижных" часов. Увидим, что первая разность меньше второй. Это и есть "замедление времени движущейся ИСО относительно неподвижной ИСО".

Обратите внимание на то, что сам описанный эксперимент не симметричен (одна ИСО представлена одними часами, а другая - двумя). Полная равноправность двух ИСО проявляется в том, что можно провести совершенно симметричный исходному эксперимент, поменяв местами "подвижную" и "неподижную" ИСО. (А фраза "время замедляется" относится не к симметричной паре ИСО, а к несимметричному эксперименту).

[Munin]

мат-ламер в сообщении #955977 писал(а):

Вот задачу придумал. Специально для новичков в физике, которые осваивают СТО. Вижу, как тяжело им приходится на этом форуме.

Сначала сами освойте СТО, потом придумывайте задачи для тех, кто её осваивает.

[aa_dav]

Пример очень хороший, кстати, чтобы вникнуть в особенности относительности одновременности.
Наблюдатель на одной из линеек найдёт каждые по отдельности движущиеся часы другой линейки замедленными и рассинхронизированными.
Если к примеру другая линейка движется слева-направо, то у часов левее показания смещаются в большую сторону относительно часов правее и тем больше, чем больше расстояние.
Таким образом, каждые по отдельности часы другой линейки тикают медленнее, чем наши часы. Но если смотреть на показания часов находящихся в разные моменты напротив нашей конкретной координаты X, то их показания (хотя они и принадлежат разным часам, но мы выхватываем их напротив одной и той же нашей коордианты, смотрим в окошечко поезда и можем видеть только часы ровно напротив какой то координаты) сменяют друг друга быстрее, чем тикают наши часы.
Таким образом ситуация и оказывается взаимно-симметричной.

[DimaM]

В формулировке с поездом и платформой этой задачке уже лет сто.