удар частицы об стенку

[Oleg Zubelevich]

sup в сообщении #955116 писал(а):

Нет. Там нужен более тщательный анализ. Несколько нудно, но "проходимо". Там возникают задачи типа Гурса. Возня всякая. В любом случае, это же модельные рассуждения. Для решений, у которых $u_t,u_x \in L_2(Q)$, линии разрыва все равно толком не определить.

Знаете, я не понял откуда берется интегральное равенство, из Вас клещами тащить мне тоже как-то наскучило. Вы мне не объяснили откуда оно берется даже в случае, когда линии разрыва определить можно.

[Red_Herring]

Цитата:

Значит на линии разрыва равен 0 скачок функции

$$u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t) - 2\frac{n_x}{n_t}u_t(x,t)u_x(x,t)$$

Если бы само выражение было бы $0$ то мы бы заключили, что при это невозможно при $|n_x|<|n_t|$. Но здесь ведь скачок!

[sup]

Oleg Zubelevich в сообщении #955122 писал(а):

Знаете, я не понял откуда берется интегральное равенство

Теперь уже я не понял. Интегрирование по частям. Какие проблемы? Ну что же. Извольте.
Слева с справа от линии разрыва
$2(u_{tt}-u_{xx})u_t = 0$
Это равенство переписывается в виде
$\frac{\partial}{\partial t} (u_t^2(x,t) + u_x^2(x,t)) - 2\frac{\partial}{\partial x}( u_t(x,t)u_x(x,t)) = 0$
Кривая $\Gamma$ разрезает цилиндр $Q=(0,1)\times(t_0,t_1)$ на два куска $Q_l$ и $Q_r$. Возьмем, например, $Q_r$. Граница этой области состоит из 4 кусков. Два горизонтальных - отрезки прямых $t = t_0$ и $t = t_1$. Вертикальная стенка $x = 1, t_0 < t < t_1$. И кривая $\Gamma$ - кусок линии разрыва, содержащийся в цилиндре. Интегрируем тождество по формуле Грина. На горизонтальных кусках выскочат интегралы с
$\int (u_t^2 + u_x^2)dx$
На вертикальной стенке интеграл обнуляется. На $\Gamma$ пишем следы:
$\int \limits_{\Gamma } ((u_t^2 + u_x^2)n_t - 2u_tu_x n_x)d\Gamma$
То же самое делаем в левом цилиндре. Складываем. На $\Gamma$ в формуле Грина нормаль $\bar{n}$ отличается направлением (для двух подобластей). Поэтому следы пойдут с разным знаком, что порождает их разность - вот и скачок. Интегралы по горизонтальным отрезкам складываются и порождают интегралы
$\int \limits_0^1(u_t^2(x,t_1) + u_x^2(x,t_1))dx$
$\int \limits_0^1(u_t^2(x,t_0) + u_x^2(x,t_0))dx$
Все это вместе и дает ту формулу, что я писал.
Честно говоря, я не понял, зачем это надо было писать. Разве это не очевидно?

-- Чт янв 01, 2015 19:29:26 --

Red_Herring в сообщении #955135 писал(а):

Если бы само выражение было бы $0$ то мы бы заключили, что при это невозможно при $|n_x|<|n_t|$. Но здесь ведь скачок!

Именно так. Скачок равен 0. Перед этим я уже писал, что на разных берегах производные отличаются лишь множителем. Скачок 0, значит этот множитель либо 1 либо -1. При этом 1 быть не может.

[Red_Herring]

sup в сообщении #955137 писал(а):

Именно так. Скачок равен 0. Перед этим я уже писал, что на разных берегах производные отличаются лишь множителем. Скачок 0, значит этот множитель либо 1 либо -1. При этом 1 быть не может.

Действительно, не заметил

sup в сообщении #955104 писал(а):

начит вектор нормали $\bar{n} = (u_t, u_x)$. Если слева и справа решение гладкое, то нормаль слева и справа может отличаться только множителем.

[sup]

Почему разрывы формируются только при скорости точки взаимодействия больше 1.
Пусть решение без стенки - $u(x,t)$. Это решение набегает на стенку $u \leqslant c$. Рассмотрим кривую $u(x,t) = c$. Эта кривая в окрестности точки удара имеет вид $t = t(x)$. Разрешая относительно $x$, получим две ветки. Рассмотрим, для примера, правую ветку $\gamma$: $x = z(t)$ при $t \geqslant t_0$. Как мы видели, пока $\dot z > 1$ на этой кривой производные $u_t, u_x$ меняют знак и, в силу теоремы единственности, решение над линией разрыва будет $\tilde u = 2c - u$. Поскольку решение набегает на стенку, то под линией разрыва (справа) производная $u_t >0$, а над линией (слева) $u_t < 0$. Но вот в некий момент времени $\dot z(t_1) = 1$. Это значит, что кривая $\gamma$ проходит выше характеристики $t - x = \operatorname{const}$, проходящей через точку $x_1 = z(t_1), t = t_1$. Значит на этой характеристике $u \leqslant c$. А слева производная $u_t(x_1,t_1) < 0$. Значит в этот момент струна отойдет от стенки.