Точка разрыва на границе области определения функции

[popolznev]

gris в сообщении #954454 писал(а):

Интересно само выражение "функция терпит разрыв". (...) Откуда, интересно, это повелось?

XIX-м веком пахнет от этого выражения. Я подозреваю, что оно появилось как калька при переводах с какого-нибудь французского или немецкого.

[Someone]

popolznev в сообщении #954397 писал(а):

У функции $x \mapsto 1/x$ в нуле такой сильный разрыв, что он рвёт даже её область определения.

Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.

popolznev в сообщении #954397 писал(а):

Топологическое определение непрерывности для анализа не оч. удобно, это ясно. Взять ту же ТФКП.

Разницу можете внятно сформулировать? ТФКП пока давайте не трогать.

[popolznev]

Someone в сообщении #954682 писал(а):

Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.

В том-то и дело, что "как угодно".

Цитата:

Разницу можете внятно сформулировать?

Между чем и чем?

Цитата:

ТФКП пока давайте не трогать.

Как же не трогать теорию, которая является анализом по преимуществу?

[Someone]

popolznev в сообщении #954683 писал(а):

Someone в сообщении #954682 писал(а):

Ага, ужасно сильный. А если как угодно доопределить эту функцию в нуле, то разрыв уже не такой сильный.

В том-то и дело, что "как угодно".

Но всё-таки, когда доопределим так, как нам понравится, разрыв становится "менее сильным"? Ведь область определения теперь не разрывается.

popolznev в сообщении #954683 писал(а):

Цитата:

Разницу можете внятно сформулировать?

Между чем и чем?

Ну, Вы же заявили, что

popolznev в сообщении #954397 писал(а):

Топологическое определение непрерывности для анализа не оч. удобно, это ясно.

Вот и объясните, чем топологическое определение непрерывности отличается от определения из математического анализа, и чем оно неудобно. В качестве топологического определения возьмём вот это:

Someone в сообщении #954270 писал(а):

Определение 3. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0\in D(f)$, если для каждой окрестности $Of(x_0)$ точки $f(x_0)$ найдётся такая окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, что для всех $x\in D(f)\cap Ox_0$ выполняется $f(x)\in Of(x_0)$.

Сформулируйте определение, принятое в математическом анализе (не в ТФКП), и объясните, чем оно удобнее.

popolznev в сообщении #954683 писал(а):

Цитата:

ТФКП пока давайте не трогать.

Как же не трогать теорию, которая является анализом по преимуществу?

А как определяется непрерывность функции в ТФКП?

[popolznev]

Someone, разве я говорил что-то об "определениях, принятых в анализе"? Я говорил, что определение из топологии неудобно для анализа, а что там (в анализе) сейчас "принято" - я не знаю. И как бы я это выяснял - бегал и опрашивал учебники анализа, что ли?

А вот определение непрерывности в топологии вроде как стандартное раз и навсегда: прообраз любого открытого открыт. Или я неправ?

Насчёт "сильного разрыва функции $1/x$" - я, вопчем-то, ожидал, что заведомо шутливый тон моей фразы будет учтён. Хотя здесь шутка не без намёка, конечно.

"Как определяется непрерывность функции в ТФКП" - я опять не знаю, потому что мне неизвестна организация, которая бы отвечала за всю ТФКП. Я могу заглянуть в конкретный учебник и сказать, что там написано.

А вот вопрос "чем неудобно в анализе топологическое определение" - он, я думаю, как раз по существу. Именно тем, что из рассмотрения выпадают точки, не принадлежащие области определения.

Да, и вот опять - вы пишете: "в анализе, но не в ТФКП". Я не понимаю, зачем отрывать анализ от ТФКП.

[Someone]

popolznev в сообщении #954731 писал(а):

А вот определение непрерывности в топологии вроде как стандартное раз и навсегда: прообраз любого открытого открыт. Или я неправ?

Во-первых, это определение во многих случаях удобно. Во-вторых, в топологии есть не одно топологическое определение непрерывности (все эквивалентные, если кто-нибудь не использовал термин "непрерывное отображение" для чего-то нестандартного), и выше я как раз формулировал одно — с употреблением термина "окрестность". Неудобно одно — воспользуйтесь другим.

popolznev в сообщении #954731 писал(а):

разве я говорил что-то об "определениях, принятых в анализе"?

Я думал, Вы что-то конкретное имели в виду, а Вы так — только поболтать.

[popolznev]

Someone в сообщении #954816 писал(а):

в топологии есть не одно топологическое определение непрерывности (все эквивалентные...), и выше я как раз формулировал одно — с употреблением термина "окрестность".

Вот именно что все эквивалентные. Впрочем, это как раз неважно.

Цитата:

Я думал, Вы что-то конкретное имели в виду, а Вы так — только поболтать.

Вот тебе и всё.

[Someone]

popolznev в сообщении #955405 писал(а):

Вот именно что все эквивалентные. Впрочем, это как раз неважно.

Как раз важно, что эквивалентные. Поэтому можно пользоваться любым.

popolznev в сообщении #955405 писал(а):

Вот тебе и всё.

Разумеется. Вы же ничего конкретного не сказали.

[popolznev]

Цитата:

Разумеется. Вы же ничего конкретного не сказали.

Моё утверждение было (и остаётся) таким: определение непрерывности и разрыва, которое неприменимо к точке, не принадлежащей области определения функции, в анализе неудобно. Коли это утверждение для вас - "ничего конкретного" - ну что ж я могу поделать, на нет и суда нет. Кстати, когда я говорил "неважно", это относилось к тому же: что бы мы ни говорили о топологических определениях (считать их одним или разными эквивалентными), точек вне области определения они учитывать не будут, поэтому для моего тезиса это неважно.

[Someone]

popolznev в сообщении #956092 писал(а):

Моё утверждение было (и остаётся) таким: определение непрерывности и разрыва, которое неприменимо к точке, не принадлежащей области определения функции, в анализе неудобно.

И где оно таким "было"? Дайте точную ссылку. А также сформулируйте определение предела и непрерывности, учитывающее точки, в которых функция не определена. Чтобы мы могли восхититься его удобством для математического анализа и (в особенности) для ТФКП.

popolznev в сообщении #956092 писал(а):

Коли это утверждение для вас - "ничего конкретного" - ну что ж я могу поделать, на нет и суда нет. Кстати, когда я говорил "неважно", это относилось к тому же: что бы мы ни говорили о топологических определениях (считать их одним или разными эквивалентными), точек вне области определения они учитывать не будут, поэтому для моего тезиса это неважно.

Топологические определения 3 и 4 эквивалентны определениям, принятым в математическом анализе, за исключением того, что имеют более широкую область применимости.

[provincialka]

А по-моему, непрерывность - особь статья, а точки разрыва - особь статья. Они же одновременно (в одной и той же точке) не наблюдаются. Определение собственно непрерывности в топологии и анализе по сути одинаково. Просто в абстрактных пространствах может не понадобиться понятие разрыва.