Точка разрыва на границе области определения функции

[Limit79]

Здравствуйте!

Подскажите, пожалуйста, может ли функция иметь точку разрыва на границе области определения?

Дабы не быть голословным, пример:

$$y=(1+5x)^{\frac{3}{x}}$$

область определения:

$$D(y) : \left (-\frac{1}{5} ;0 \right) \cup \left (0 ;+\infty)$$

Будет ли точкой разрыва точка $x = - \frac{1}{5}$ ?

Спасибо!

-- 29.12.2014, 06:35 --

В принципе, для понимания вопроса, будет достаточно рассмотрения более простого примера: является ли точка $x=0$ точкой разрыва для функции

$$y=\frac{1}{\sqrt{x}}$$

?

[Cash]

Хлопок одной ладонью?

Функция $y=\frac{1}{\sqrt{x}}$
непрерывна на всей области определения. Соответственно, точек разрыва нет.
Но вопрос, как мне кажется, совершенно не важный.

[demolishka]

Функция разрывна в точке $a$, если утверждение о том, что она непрерывна ложно, т.е. $\lim\limits_{x \to a}f(x)\not=f(a)$. Так, что если неизвестно, что такое $f(a)$, то и говорить о непрерывности или разрывности не имеет смысла.

[popolznev]

demolishka, а точки разрыва второго рода?

[Brukvalub]

demolishka в сообщении #953882 писал(а):

Функция разрывна в точке $a$, если утверждение о том, что она непрерывна ложно, т.е. $\lim\limits_{x \to a}f(x)\not=f(a)$. Так, что если неизвестно, что такое $f(a)$, то и говорить о непрерывности или разрывности не имеет смысла.

Тем не менее, иногда традиционно к точками разрыва относят такие точки, в окрестности которых функция определена, но при любом доопределении этой функции в самой рассматриваемой точке функция становится разрывной. Делать так, конечно, нехорошо, но бороться с традициями трудно! Уж сколько "неудов" профессора и доценты кафедры мат.анализа мех-мата МГУ поставили за ответ "гипербола терпит разрыв второго рода", а он все терпит и терпит этот разрыв.

[Otta]

Brukvalub в сообщении #953928 писал(а):

Уж сколько "неудов" профессора и доценты кафедры мат.анализа мех-мата МГУ поставили за ответ "гипербола терпит разрыв второго рода", а он все терпит и терпит этот разрыв.

А потому что задачник, поди, Демидович. И когда она перестанет терпеть в ответах Демидовича (и в тамошних определениях) разрыв, так, может, на этой почве хотя бы неудов поменее станет.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

– На свете не было, нет и не будет никогда более великой и прекрасной для людей власти, чем власть императора Тиверия! – сорванный и больной голос Пилата разросся.
На свете не было, нет и не будет никогда более великого и прекрасного для студентов задачника по матану, чем задачник Демидовича!

[Otta]

(Оффтоп)

Ну да, должон же быть в прекрасном хотя бы один изъян, чтобы только более подчеркивать совершенство остального.

[provincialka]

Традиционные представления по крайней мере, не противоречат интуиции. Ну видно же невооруженным глазом, что у $y=1/x$ есть разрыв. А как эту ситуацию описывать "по правильному"? Без вывертов не обойдешься.

И что стоит "разрешить" функциям терпеть разрыв в точках, в окрестности которых они определены? Ведь там, где функция не определена, она не будет непрерывной, так что и противоречия нет.

Может, для рафинированных математиков современный взгляд и полезен. Но мы, прикладники и информатики, и по-старому потерпим.

[gris]

По Демидовичу положено говорить, что у функции $f(x)=1/x$ ноль — точка бесконечного разрыва. А про терпение и не сказано ничего.
А бывает, что к точкам разрыва причисляют даже точки вне замыкания области определения. То есть $x=-1 \text{ для } f(x)=\sqrt x$.

[Someone]

Традиционно в математическом анализе в связи с термином "точка разрыва" обсуждается определённый круг вопросов, но однозначные общие определения не всегда внятно формулируются. У Фихтенгольца определение точки разрыва даётся для случая, когда точка принадлежит области определения, а затем оговаривается, что в каком-то случае точкой разрыва считается и точка, не принадлежащая области определения. У Кудрявцева определения сформулированы для точек интервала $(a,b)$, причём, точка, где функция не определена, прямо называются точкой разрыва (в определении предполагается, что такая точка на интервале одна).

На мой взгляд, наиболее адекватным определением традиционного понятия точки разрыва в математическом анализе могло бы быть следующее.
Я буду употреблять термин "окрестность" и использовать обозначение типа $Ox$ для окрестностей точки $x$.

В математическом анализе функций одной переменной под окрестностью точки $x_0\in\mathbb R$ понимается интервал $(x_0-\varepsilon,x_0+\varepsilon)$ для произвольного положительного $\varepsilon$ (а в топологии так может называться произвольное открытое множество, содержащее точку $x_0$).
Проколотой окрестностью точки $x_0$ называют окрестность точки $x_0$, из которой удалена сама точка $x_0$, то есть, множество $\dot Ox_0=Ox_0\setminus\{x_0\}$.
Для начинающих изучать математический анализ обычно термин "окрестность" не вводят, вместо $x\in Ox_0$ пишут $\lvert x-x_0\rvert<\varepsilon$, а вместо $x\in\dot Ox_0$ пишут $0<\lvert x-x_0\rvert<\varepsilon$. Область определения функции $f$ буду обозначать $D(f)$.

Подразумевается, что все точки являются элементами множества действительных чисел $\mathbb R$, все множества — подмножествами $\mathbb R$. Однако определения будут сформулированы так, чтобы их можно было использовать в более общем случае, заменив $\mathbb R$ соответствующим (хаусдорфовым топологическим) пространством.

Определение 1. Точка $x_0\in\mathbb R$ называется предельной точкой множества $A\subseteq\mathbb R$, если для каждой окрестности $Ox_0$ точки $x_0$ существует точка $x_1\in A\cap Ox_0$, не совпадающая с точкой $x_0$.
Определение 2. Точка $x_0\in A$ называется изолированной точкой множества $A\subseteq\mathbb R$, если существует окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, не содержащая других точек множества $A$, то есть, $A\cap Ox_0=\{x_0\}$.
Определение 3. Функция $f$ называется непрерывной в точке $x_0\in D(f)$, если для каждой окрестности $Of(x_0)$ точки $f(x_0)$ найдётся такая окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, что для всех $x\in D(f)\cap Ox_0$ выполняется $f(x)\in Of(x_0)$.
Определение 4. Пусть $x_0\in\mathbb R$ — предельная точка области определения $D(f)$ функции $f$. Число $l$ называется пределом функции $f$ в точке $x_0$ (обозначается $l=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ или $l=\lim\limits_{\substack{x\to x_0\\ x\in D(f)}}f(x)$; я буду использовать первое обозначение), если для каждой окрестности $Ol$ точки $l$ найдётся такая окрестность $Ox_0$ точки $x_0$, что для всех $x\in D(f)\cap\dot Ox_0$ выполняется $f(x)\in Ol$.
Теорема 1. а) Если $x_0\in D(f)$ — изолированная точка области определения $D(f)$ функции $f$, то функция $f$ непрерывна в точке $x_0$.
б) Если $x_0\in D(f)$ — предельная точка области определения $D(f)$ функции $f$, то функция $f$ непрерывна в точке $x_0$ тогда и только тогда, когда существует $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$, и выполняется равенство $f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.
Определение 5. Пусть $x_0\in\mathbb R$ — предельная точка области определения $D(f)$ функции $f$. Точка $x_0$ называется точкой разрыва функции $f$ в следующих случаях:
а) $x_0\notin D(f)$, то есть, значение $f(x_0)$ не определено;
б) $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ не существует;
в) $x_0\in D(f)$, $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ существует, но $f(x_0)\neq\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.
(Эти три пункта — просто подробная запись фразы "равенство $f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ не выполняется".)
Определение 6. Пусть $x_0$ — точка разрыва функции $f$. Точка $x_0$ называется точкой устранимого разрыва функции $f$, если существует конечный $\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$.
В случае устранимого разрыва в точке $x_0$ функцию можно сделать непрерывной в точке $x_0$, доопределив или переопределив её в этой точке равенством $f(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f(x)$ (в случае доопределения это называется "продолжение функции по непрерывности").

Brukvalub в сообщении #953928 писал(а):

Уж сколько "неудов" профессора и доценты кафедры мат.анализа мех-мата МГУ поставили за ответ "гипербола терпит разрыв второго рода", а он все терпит и терпит этот разрыв.

К сожалению, я уже не в состоянии вспомнить, что нам рассказывал по поводу точек разрыва Исаак Ааронович Вайнштейн в 1967 году. Студентам же можно только посоветовать посещать лекции, аккуратно их записывать и на экзамене использовать и излагать определения и теоремы исключительно в том виде, в каком они были сформулированы лектором. Потому что смешивание формулировок, взятых из разных источников, может привести к логическим ошибкам и противоречиям. За что студентов, видимо, и наказывают.

[ex-math]

Someone
Хотел примерно то же написать, но не так подробно. Спасибо.

Как мне кажется, нужно подгонять определения под реальность, а не реальность под определения. Яркий пример -- проколотая окрестность в определении предела. Можно построить теорию и не прокалывая окрестность, но тогда, скажем, в точке устранимого разрыва функция не будет иметь предела, а это противоречит тому, что мы хотим понимать под словом "предел" и приводит к потере информации о поведении функции.

Если мы видим на графике то, что нам хочется назвать точкой разрыва, то надо определить это понятие так, чтобы это была точка разрыва. Поясню, почему хочется. Вот та же гипербола. Разве поведение этой функции как-то меняется, если ее доопределить в нуле? Почему в одном случае это должно называться точкой разрыва, а в другом нет?

Что касается вопроса ТС, это дело вкуса, назвать такие точки точками разрыва или нет. Но во всяком случае, при исследовании функции соответствующий односторонний предел надо вычислить и сделать соответствующие выводы.

[popolznev]

У функции $x \mapsto 1/x$ в нуле такой сильный разрыв, что он рвёт даже её область определения.

Топологическое определение непрерывности для анализа не оч. удобно, это ясно. Взять ту же ТФКП.

[gris]

Эти разрывы уже обсуждались и, в общем-то, никто на разнице толкований не заморачивается. Из контекста всегда ясно, что там как называется для удобства изложения, да и не особо это критично. Хотя использовать такие штуки в качестве детектора посещения лекций несколько негалантно.
Интересно само выражение "функция терпит разрыв". Разве есть что-то похожее в математике? Я даже отнёсся прямо в Заведение и был успокоен, что так до сих пор говорят. Не есть ли это специфический жаргон? Но в учебниках не пишут! Ни у З, ни у Ф, ни у других я не нашёл. Говорят, раньше так и писали, и говорили. Откуда, интересно, это повелось?
Функция терпит, какое горе. Вдруг недотерпит?

[PeanoJr]

gris в сообщении #954454 писал(а):

Эти разрывы уже обсуждались и, в общем-то, никто на разнице толкований не заморачивается. Из контекста всегда ясно, что там как называется для удобства изложения, да и не особо это критично. Хотя использовать такие штуки в качестве детектора посещения лекций несколько негалантно.
Интересно само выражение "функция терпит разрыв". Разве есть что-то похожее в математике? Я даже отнёсся прямо в Заведение и был успокоен, что так до сих пор говорят. Не есть ли это специфический жаргон? Но в учебниках не пишут! Ни у З, ни у Ф, ни у других я не нашёл. Говорят, раньше так и писали, и говорили. Откуда, интересно, это повелось?
Функция терпит, какое горе. Вдруг недотерпит?

Функции нескольких переменных у Фихтенгольца таки терпят разрыв:)