Вторая производная

[awesomeleni]

Добрый день!
Читаю в общем-то физику, самое начало.
Первая производная, вторая производная.
По поводу второй приводятся следующие рассуждения.

Я решительно не понимаю последнего параграфа: зачем они вообще приводят геометрическое представление второй разности, что должно стать понятно из этого представления о втором дифференциале/второй производной?
[более понятный вопрос] Как они так лихо определяют, что отклонение хорды от кривой в средней точке это $\frac {\Delta^2x} {2}$?


И ещё на тему смысла второй производной.
В обсуждениях на форуме встретился такой вопрос
"А Вы понимаете, как геометрический смысл второй производной получается из геометрического смысла первой производной?"
[http://dxdy.ru/post507601.html#p507601]
ответа не следует, а я не понимаю. Не могли бы вы, пожалуйста, ответить и на этот вопрос.

[Brukvalub]

А откуда у вас берется уверенность, что вторая производная имеет простой геометрический смысл? Может, такого смысла и вовсе нет?

[awesomeleni]

уверенности нет
но что значит простой геометрический смысл? - и если не простой, но какой-то (есть), то о чем речь? (о выпуклости/вогнутости?)
(с геометрическим смыслом вторая производная стала бы для меня куда понятнее)

и мне всё же не даёт покоя, как они вывели это отклонение хорды $\frac {\Delta^2x} {2}$?

[provincialka]

Полное приращение от точки с аргументом $t-\Delta t$ до точки с аргументом $t+\Delta t$ будет равно $\Delta_+ +\Delta_-$, прирост до середины отрезка - половина этой суммы. А теперь вычтите из этой полусуммы $\Delta_-$

[Brukvalub]

awesomeleni в сообщении #954587 писал(а):

....
(с геометрическим смыслом вторая производная стала бы для меня куда понятнее)
...

А сейчас, без геометрического смысла, вы вторую производную никак "ниасилите"? То есть пока она для вас - просто темный лес?

[provincialka]

Вторую производную можно связать с формулой Тейлора, там она позволяет задать наилучшую приближающую параболу (как первая производная - касательную)

[Neos]

awesomeleni, что за учебник ? Геометрический смысл первой производной - просто тангенс угла наклона касательной к кривой.. Смысл второй, представляете как поворот этой касательной по часовой стрелке$(-)$ или против $(-)$, в зависимости от знака. Именно как изменение наклона касательной. Вторая производная говорит о вогнутости или выпуклости кривой. У первых двух геометрическая интерпретация еще есть. У остальных - вопрос. Поэтому, смотрите на производную $n-$го порядка как на первую производную от от производной $(n-1)$ порядка. И не парьтесь, если только начали изучать анализ. Просто считайте. Дайте себе привыкнуть к этим понятиям.

[Brukvalub]

Neos в сообщении #954606 писал(а):

awesomeleni, что за учебник ? Смысл первой производной - просто тангенс угла наклона касательной к кривой.. Смысл второй, представляете как поворот этой касательной по часовой стрелке$(-)$ или против $(-)$, в зависимости от знака. Именно как изменение наклона касательной. Вторая производная говорит о вогнутости или выпуклости кривой. У первых двух геометрическая интерпретация еще есть. У остальных - вопрос. Поэтому, смотрите на производную $n-$го порядка как на первую производную от от производной $(т-1)$ порядка. И не парьтесь, если только начали изучать анализ. Просто считайте. Дайте себе привыкнуть к этим понятиям.

Почитав ВОТ ЭТО!!! я и сам перестал понимать смысл производных (а раньше - понимал, и даже удавалось и другим объяснить!)

[Neos]

Brukvalub, понятно, что смысл производной - "Предел отношения ... " Я привел геометрическую интерпретацию. Она упрощает исследование поведения функций .

[Brukvalub]

Neos в сообщении #954637 писал(а):

Brukvalub, понятно, что смысл производной - "Предел отношения ... " Я привел геометрическую интерпретацию. Она упрощает исследование поведения функций .

Вы написали несуразицу, а не "привел геометрическую интерпретацию".

[iifat]

Кривизна кривой, имхо. Там, в формуле, правда, и первая присутствует. Если уж, действительно, нужна какая-то геометрическая интерпретация.

[Neos]

Brukvalub, чем "несуразица" ?

[Алексей К.]

Neos в сообщении #954647 писал(а):

чем "несуразица" ?

Вопрос не мне был адресован, но встряну. Соответсвенно, со своими несуразицами.

Neos в сообщении #954606 писал(а):

Геометрический смысл первой производной - просто тангенс угла наклона касательной к кривой..

Какая, к чёрту извините, кривая?
В читанных мною книжках понятие производной ассоциируют с функциями. У Вас производная кривой??? И где об этом почитать (кроме кучи безграмотных сообщений на форуме)???

-- 30 дек 2014, 23:46:34 --

Хорошо, допустим, под кривой Вы имеете в виду график некоторой функции, а под "производной ? кривой" --- производную функции, равную тангенсу чего-то там...
Но самый школьный пример --- функция (зависимость) пройденного пути от времени. Производная --- скорость. С каких это пор тангенс измеряется в километрах в час? метрах в секунду??? (даже если это одно и то же, не проверял).

-- 31 дек 2014, 00:12:17 --

Однажды, в те годы, когда я ещё смотрел телевизор, я услышал в нём фразу, произнесённую В.С.Черномырдиным:
"Темпы падения [уровня] производства замедлились" (за точность цитирования никак не ручаюсь).

Запомнилось сразу (типа "вау, премьер-министр, ощущающий вторую производную!").
Я нечасто соглашался на репетиторство, но первому же ученику соответствующего класса задал задачки:

"Допустим, какая-то фабрика производит штаны.

1. Нарисуй график --- количество производимых штанов от времени. И желательно такой, из которого видно, что производство штанов падает...

2. Нарисуй теперь график, из которого видно, что темпы падения производства замедляются."

Я был удивлён, что он быстро справился.

[awesomeleni]

provincialka в сообщении #954596 писал(а):

Полное приращение от точки с аргументом $t-\Delta t$ до точки с аргументом $t+\Delta t$ будет равно $\Delta_+ +\Delta_-$, прирост до середины отрезка - половина этой суммы. А теперь вычтите из этой полусуммы $\Delta_-$

Воот, конечно, всё просто! Спасибо )

provincialka в сообщении #954604 писал(а):

Вторую производную можно связать с формулой Тейлора, там она позволяет задать наилучшую приближающую параболу (как первая производная - касательную)

относительно формулы Тейлора: то есть с некоторой определенной точностью представить саму функцию в виде параболы вблизи некоторой точки?

[provincialka]

awesomeleni в сообщении #954698 писал(а):

то есть с некоторой определенной точностью представить саму функцию в виде параболы вблизи некоторой точки?

Да. И там как раз второй дифференциал делится пополам.

Но вообще-то вашу книжку я, как математик не могу читать... "Второй дифференциал можно рассматривать как вторую разность при $\Delta t$ стремящемся к 0. М-да... Для математика $\Delta t$ в дифференциале не стремится к 0. Хотя, конечно при желании можно это сделать.