Предел последовательности обобщенных функций

[Larushka]

Здравствуйте! Дана задача: найти предел последовательности обобщенных функций на D(R) или S(R)

$w_k (x) = \frac{k^3 x}{(1+k^2 x^2)^2}, k\to\infty$.

Была гипотеза, что предел равен $\delta(x) sgn(x)$, для проверки я взял интеграл от нуля до $+\infty$, получилось $\frac{k}{2}$. Была мысль, что в задании опечатка, так как в случае $w_k (x) = \frac{k^2 x}{(1+k^2 x^2)^2}, k\to\infty$ получалось бы как раз все в рамках гипотезы, но мне сказали, что в задании все верно. Плюс была подсказка найти неопределенный интеграл (получилось $\frac{-k}{(2 k^2 x^2+2)}+c$) и исходить из этого. Далее я в тупике.

[Oleg Zubelevich]

по-моему надо разложить пробную функцию в сумму четной и нечетной

[Red_Herring]

Larushka в сообщении #954513 писал(а):

$\frac{-k}{(2 k^2 x^2+2)}+c$

Ну и каков предел $-\frac{k}{2 (k^2 x^2+1)}+c$ на $\mathcal{D}$ или $\mathcal{S}$?

И кстати $\delta(x) \operatorname{sgn}(x)$ смысла не имеет

[Larushka]

Ага, спасибо! $-\frac{\pi}{2}\delta(x)$.
Значит, ответ будет производная от дельта-функции с коэффициентом..