Теория чисел, комбинаторика

[Andrei94]

1) Число умножили на сумму его цифр и получили $2008$. Найдите это число.

Конечным перебором получаем, что четырехзначным число не может быть, потому рассматриваем трехзначные.

$$(100a+10b+c)(a+b+c)=100a^2+100ab+100ac+10ab+10b^2+10bc+ac+cb+c^2=2008$$

Тогда $100a^2\le 2008$, то есть $a\le 4$.

Тут теперь поочередно рассматривать случаи $a=1,2,3,4$?

2) Может ли число $n^2+2n+2014$ делиться (нацело) на $121$ при некотором целом $n$?

Тут пришла идея выделить полный квадрат $n^2+2n+2014=(n+1)^2+2013$, но $2013$ не делится на $121$ (будет остаток 77))

Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?

3) Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9
по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

a) $17253461$

б) Мне кажется, что нет, но как это доказать?

4) Три квадратные дорожки с общим центром отстоят друг от друга на 1 м (см. рис.).
Три муравья стартуют одновременно из левых нижних углов дорожек и бегут
с одинаковой скоростью: Му и Ра против часовой стрелки, а Вей по часовой. Когда Му
добежал до правого нижнего угла большой дорожки, двое других, не успев ещё
сделать полного круга, находились на правых сторонах своих дорожек, и все трое
оказались на одной прямой. Найдите стороны квадратов.


Пусть сторона маленького квадрата равна $x$, тогда среднего $x+2$, большого $x+4$

Вей прополз расстояние $3x$. Ра прополз $x+2$

Так как у них одинаковая скорость, то за одно время они проползают одно расстояние. То есть $3x=x+2$, то есть $x=1$. Верно?

[provincialka]

В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев остатки от деления на 3. Или, скажем, делители числа 2008 -- их не так уж много.

[ИСН]

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?

А вот теперь - полный квадрат, и смотреть делимость на 11.

-- менее минуты назад --

provincialka в сообщении #953984 писал(а):

В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев (...) делители числа 2008

Исключить перебор, я бы сказал. Рассматривать первую цифру и остальные цифры - это ненамного лучше, чем перебирать все трёхзначные числа вообще. Результат-то получится наверняка, но...

[Andrei94]

provincialka в сообщении #953984 писал(а):

В задаче 1 можно сократить перебор. Например, рассмотрев остатки от деления на 3. Или, скажем, делители числа 2008 -- их не так уж много.

Спасибо, понятно. $2008=251\cdot 8$, Тогда число $251$ подойдет!

[Shadow]

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

a) $17253461$

$4 \div (6-3)=$

[grizzly]

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Тут пришла идея выделить полный квадрат $n^2+2n+2014=(n+1)^2+2013$, но $2013$ не делится на $121$ (будет остаток 77))

Здесь этого достаточно. Теперь только посмотреть, что 2013 делится на 11, а значит $(n+1)^2$ делится на 11 (иначе понятно), а значит...

-- 29.12.2014, 16:41 --

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Вей прополз расстояние $3x$.

Это утверждение не обосновано и вряд ли верно.

[12d3]

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Верно?

Нет. В условии не сказано, что муравьи оказались в углах квадратов.

[Andrei94]

ИСН в сообщении #953988 писал(а):

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Можно написать $n^2+2n+78+16\cdot 121$ и смотреть на делимость $n^2+2n+78$ на 121. Но как это проверить, верное ли направление мысли?

А вот теперь - полный квадрат, и смотреть делимость на 11.
.

$n^2+2n+78=(n+1)^2+77$

Так как $77$ делится на $11$, то и $(n+1)^2$ должно делится на 11, значит $n+1=11k$, значит $n=11k-1$ -- вот такая серия номеров. А как быть с делимостью на $121$ все-таки?

[nnosipov]

Andrei94 в сообщении #954087 писал(а):

А как быть с делимостью на $121$ все-таки?

Дык, нет её, видно же. Присмотритесь.

[Andrei94]

Shadow в сообщении #954058 писал(а):

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

a) $17253461$

$4 \div (6-3)=$

Действительно, неверно у меня. Но я понимаю, что у $7$ должны быть соседи, разность которых равна $1$

Получается несколько вариантов: $172, 273, 374, 475, 576$

Каждый из них смотреть можно в отдельности.

1) $172$ слева может быть только $6$, потому $6172$. Далее справа может быть или $5$ или $3$

Подвариант $61723$. Остались две цифры $4,5$. Справа подойдет только $5$, тогда $61723546$

Вроде подходит, верно?

-- 29.12.2014, 16:21 --

nnosipov в сообщении #954091 писал(а):

Andrei94 в сообщении #954087 писал(а):

А как быть с делимостью на $121$ все-таки?

Дык, нет её, видно же. Присмотритесь.

Спасибо, все понял с этой задачей после деления на $11$ получится число вида $11m+7$, которое не делится на $11$.

-- 29.12.2014, 16:25 --

grizzly в сообщении #954066 писал(а):

Andrei94 в сообщении #953981 писал(а):

Вей прополз расстояние $3x$.

Это утверждение не обосновано и вряд ли верно.

Как-то так должно быть?


-- 29.12.2014, 16:29 --

grizzly в сообщении #954066 писал(а):

Здесь этого достаточно. Теперь только посмотреть, что 2013 делится на 11, а значит $(n+1)^2$ делится на 11 (иначе понятно), а значит ....

$(n+1)^2$ делится на $121$, но $77$ не делится на $121$, значит их сумма не делится.

А если $(n+1)^2$ не делится на $11$, тогда и все число $(n+1)^2+121$ не делится на $11$, а значит не делится на $121$.

[Shadow]

Andrei94 в сообщении #954097 писал(а):

1) $172$ слева может быть только $6$, потому $6172$. Далее справа может быть или $5$ или $3$

Далее справа может быть толко 5, потому что 2 не делится на 4. И не получается. Так же можно показать, что и в остальных двух случаев не получится. Вариантов не так много.
В подусловие б) все гораздо проще доказывается. Там нечетное число нечетных чисел.

[grizzly]

Andrei94
Если Вы ожидали моего подтверждения, то да, Вы правильно меня поняли в обоих случаях (на внесмысловые опечатки внимания не обращаю).

[Shadow]

4) Если принять правый нижний угол за начало координат: координаты Му $(0;0)$, то каковы координаты Ра?
(Все они пробежали одинаковое расстояние.)

[Shadow]

Shadow в сообщении #954184 писал(а):

И не получается. Так же можно показать, что и в остальных двух случаев не получится.

Извиняюсь, я не рассмотрел все возможные варианты. Есть решение на условие а)

[Andrei94]

Shadow в сообщении #954208 писал(а):

4) Если принять правый нижний угол за начало координат: координаты Му $(0;0)$, то каковы координаты Ра?
(Все они пробежали одинаковое расстояние.)

У Ра $(1;1)$, а у третьего муравья $(2;2)$.
Понимаю, что одинаковое, но пока не очевидно -- в какую сторону думать.
А только методом координат можно сделать?

-- 30.12.2014, 16:24 --

3) Можно ли расставить числа а) от 1 до 7; б) от 1 до 9
по кругу так, чтобы любое из них делилось на разность своих соседей?

Под буквой б)

У $1$ могут быть соседи только разность которых $1$

Получаем варианты:

1. $213$

2. $314$

3. $415$

4. $516$

5. $617$

6. $718$


7. $819$


Рассмотрю последний случай

7.

Тогда у $9$ могут быть следующие соседи

a) $8194$

Тогда у $4$ могут быть следующие соседи

$81945$, тогда $819453$, тогда $8194532$, тогда правый сосед $2$ может быть только $1$, противоречие

b) $8192$

....

И так нужно каждый случай расписывать в лоб или есть способ проще?