Корреляционные и ковариационные матрицы и их нормирование

[Cars]

Имеется n вибродатчиков, передающих одномерные сигналы. Значения вибросигналов считываются через определенные равные промежутки времени. В результате получается m значений для каждого из n сигналов. Затем каждый из n сигналов центрируется (определяется среднее и вычитается из каждого мгновенного значения). Таким образом, у нас получается числовой массив, в котором n строк и m столбцов. Необходимо из этого массива сформировать корреляционную и ковариационную матрицы, т.е. нужно правило формирования элементов этих матриц. Желательно правило изложить попроще, на понятном для технаря-программиста языке.

Задача хоть и тривиальная, но текст составлял сам. Поэтому в нем могут быть некорректности. При обнаружении прошу указать. Вопросы по нормированию будут после того как определимся с матрицами. Заранее всех благодарю за помощь.

[Henrylee]

Ну если я праивильно понял, то Вы получаете матрицу $n\times m$, в которой суммы по строкам равны нулю?
Обозначим ее элементы как $(X_j^{(i)})$, $i$-номер строки. Видимо речь идет о независимых и одинаковых по стохастическим характеристикам датчиках. Каждая строка - суть реализация случайного вектора ($m$-мерного сечения случайного процесса) и таких реализаций у нас $n$.

Ну тогда, видимо, выборочная ковариационная матрица (размера $m\times m$) будет состоять из элементов ($k$-номер строки)

$$ c_{kl}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(X_k^{(i)}-\overline{X_k}\right)\left(X_l^{(i)}-\overline{X_l}\right), $$

где

$$ \overline{X_k}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_k^{(i)},\quad\overline{X_l}=\frac1n\sum\limits_{i=1}^nX_l^{(i)} $$

[Cars]

Henrylee, спасибо!

А что на счет корреляционной матрицы?

[--mS--]

Корреляционная - соответственно, из элементов

$$\dfrac{c_{kl}}{\sqrt{\dfrac1n\sum\limits_{i=1}^n\left(X_k^{(i)}-\overline{X_k}\right)^2\cdot \dfrac1n\sum\limits_{j=1}^n\left(X_l^{(j)}-\overline{X_l}\right)^2}}$$

[Cars]

--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

[upgrade]

Cars в сообщении #951074 писал(а):

Затем каждый из n сигналов центрируется (определяется среднее и вычитается из каждого мгновенного значения). Таким образом, у нас получается числовой массив, в котором n строк и m столбцов.

в строках нормированные значения $X-\overline{X}$ или мгновенные $X$? $m$, я так понимаю - отсчеты?

[--mS--]

Cars в сообщении #951491 писал(а):

--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

У меня ровно обозначения из ответа Henrylee.

[Cars]

Henrylee в сообщении #951384 писал(а):

Ну если я праивильно понял, то Вы получаете матрицу $n\times m$, в которой суммы по строкам равны нулю?

совершенно верно!

upgrade в сообщении #951520 писал(а):

в строках нормированные значения $X-\overline{X}$ или мгновенные $X$? $m$, я так понимаю - отсчеты?

Обычно $X_j^{(i)}-\overline{X_i}$ называют центрированными значениями $i$-го сигнала, а для нормирования надо еще разделить на разницу между максимальным и минимальным значениями $i$-го сигнала. Если не прав, то прошу поправить.

По вашему вопросу: в строках "числового массива [$i,j$]" не мгновенные значения $X_j^{(i)}$, а их центрированные величины $X_j^{(i)}-\overline{X_i}$.

$m$ - количество отсчетов (по каждому из $n$ сигналов).

-- Пн дек 29, 2014 14:28:48 --

--mS-- в сообщении #951643 писал(а):

Cars в сообщении #951491 писал(а):

--mS--, в Вашей формуле числитель c_{kl} - это элементы «исходного числового массива» (см. текст темы) или «выборочной ковариационной матрицы» (см. ответ 1)?

У меня ровно обозначения из ответа Henrylee.

Значит по вашему выражению элементы корреляционной матрицы вычисляются по элементам ковариационной.

А как выглядит выражение для вычисления корреляционной матрицы непосредственно по элементам «исходного числового массива», который представляет собой центрированные значения сигналов (см. текст темы и мой предыдущий пост).

[Евгений Машеров]

Cars в сообщении #953970 писал(а):

а для нормирования надо еще разделить на разницу между максимальным и минимальным значениями $i$-го сигнала.

Это лишь один из возможных способов нормирования. В данном случае обычно нормируют так, чтобы дисперсия нормированной величины была бы равна единице, для чего делят на среднеквадратичное отклонение. Если вычислить для нормированных так величин ковариационную матрицу, она совпадёт с корреляционной. Чаще, однако, считают ковариационную матрицу, а корреляционную по ней, разделив её строки и столбцы на корень квадратный из диагональных элементов.

[--mS--]

Cars в сообщении #953970 писал(а):

А как выглядит выражение для вычисления корреляционной матрицы непосредственно по элементам «исходного числового массива», который представляет собой центрированные значения сигналов (см. текст темы и мой предыдущий пост).

Подставьте в формулу значения $c_{kl}$ из ответа Henrylee, получите "непосредственно по элементам «исходного числового массива»".