Объяснение смысла производной в курсе высшей математики.

[TheFobos]

Здравствуйте, помогите мне пожалуйста разобраться со смыслом производной.
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ в нескольких из рекомендованных преподавателем книг, но практически во всех физический смысл определяется при помощи мгновенной скорости. Но какой физический смысл самой мгновенной скорости? Я рассуждаю так: Скорость определяется как расстояние поделенное на время. По крайней мере там меня учили в школе, и других определений нагуглить мне не удалось. Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой. О чем вообще может сказать мгновенная скорость и что она показывает?
Это несколько похоже на какой-то парадокс Зеннона или что-то такое, но с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда.
Подскажите, где я не правильно рассуждаю? Может быть стоит почитать ещё какие-то книги?

[Aritaborian]

TheFobos в сообщении #953848 писал(а):

Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ

И умудрились не понять, что такое предел?

[TheFobos]

Aritaborian в сообщении #953850 писал(а):

TheFobos в сообщении #953848 писал(а):

Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ

И умудрились не понять, что такое предел?

Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.

[Aritaborian]

TheFobos в сообщении #953851 писал(а):

Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.

So, вы не постигли физический смысл предела.
Пусть мы определяем скорость как пройденное расстояние, разделённое на прошедшее время. То есть дельта эс на дельта тэ.
Ну а теперь найдём $\lim \limits _{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Так стало чуть понятнее (раз уж вы понимаете, что такое предел)?

[TheFobos]

Aritaborian в сообщении #953853 писал(а):

TheFobos в сообщении #953851 писал(а):

Что такое предел понял, какой физический смысл мгновенной скорости - нет.

So, вы не постигли физический смысл предела.
Пусть мы определяем скорость как пройденное расстояние, разделённое на прошедшее время. То есть дельта эс на дельта тэ.
Ну а теперь найдём $\lim \limits _{\Delta t \to 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}$. Так стало чуть понятнее (раз уж вы понимаете, что такое предел)?

Нет. Как его вычислить вполне понятно. Что предел это простыми словами - величина, к которой величина может приближаться бесконечно близко - тоже понятно. Что такое в физическом смысле - нет. Обычная скорость, пусть средняя и прямолинейная - вполне понятна, чем она больше, тем быстрее будет пройдено расстояние. Мгновенная - не понятно.

[demolishka]

Едете вы по кривой и пройденный вами путь описывается хорошей функцией $s(t)$. В общем случае скорость конечно же различна в каждый момент времени вашего пути. Вы поинтересовались: какой же скоростью вы обладали в момент времени $t_0$ (что в это время показывал спидометр машины, например). Вот скорость в заданный момент времени это мгновенная скорость. А дальше лишь ее вычисление: рассматривая маленькую окрестность точки $t_0$ можно считать, что движение за этот промежуток времени было с постоянной скоростью и мгновенная скорость это, приближенно, средняя скорость на этом промежутке. И чем меньше окрестность вы возьмете, тем точнее будет это приближение. А предел в данном случае - это сколь угодно близкое уточнение (то бишь точное значение).

[iifat]

TheFobos в сообщении #953854 писал(а):

величина может приближаться бесконечно близко

Скорее, не удаляться бесконечно далеко Ещё точнее — ну, проще посмотреть ещё раз на определение предела. «Может приближаться» не запрещает ей тут же отскочить далеко-далеко и снова вернуться. Не говоря уж о том, что величина не приближается и не удаляется. Хотя может стремиться

TheFobos в сообщении #953854 писал(а):

Обычная скорость, пусть средняя и прямолинейная

Что ещё за прямолинейная? А бывает криволинейная скорость?
Ну, а по основному вопросу — только медитация, наверное. Вот мы меряем пройденное расстояние (от момента $t_0$) за секунду; потом за полсекунды и удваиваем ($\frac{\Delta s}{Delta t}$, помните?), потом за треть и утраиваем, потом всё дальше, дальше и дальше — это и называется переходом к пределу. Пределом как раз и будет мгновенная скорость в момент времени $t_0$.

[Brukvalub]

(Оффтоп)

Господа, а разве здесь разрешено троллить и поддаваться на троллинг?

[ИСН]

Спидометр машины - по-моему, исчерпывающее пояснение. Вот мы сели, разогнались от 0 до 60. Стрелка исчезла на 0 и появилась на 60? Нет, она прошла через все промежуточные значения, в том числе через 30. Какая была скорость в тот момент? Такая и была: 30. Сколько времени она была такая? Нисколько. Это мгновенная скорость.

[Евгений Машеров]

TheFobos в сообщении #953848 писал(а):

Здравствуйте, помогите мне пожалуйста разобраться со смыслом производной.
Я, как мне кажется, внимательно прочитал введения в матанализ в нескольких из рекомендованных преподавателем книг, но практически во всех физический смысл определяется при помощи мгновенной скорости. Но какой физический смысл самой мгновенной скорости? Я рассуждаю так: Скорость определяется как расстояние поделенное на время. По крайней мере там меня учили в школе, и других определений нагуглить мне не удалось. Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой. О чем вообще может сказать мгновенная скорость и что она показывает?
Это несколько похоже на какой-то парадокс Зеннона или что-то такое, но с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда.
Подскажите, где я не правильно рассуждаю? Может быть стоит почитать ещё какие-то книги?

У меня такое впечатление, что Ваши затруднения имеют, простите за грубое слово, философский характер. Вы самостоятельно придумали один из зеноновских софизмов, хотя у него было сформулировано изящнее. Вы, видимо, смешиваете явление (движение), его характеристику (скорость) и способ её измерения (разделить путь на время). Движение существует, что бы Вы с Зеноном о нём не думали, и имеет скорость. Но при её измерении обнаруживается, что полученная величина совсем просто (и, главное, однозначно) определяется для частного, пусть и важного случая - равномерного движения. Если же движение происходит с переменной скоростью, то результат зависит от нашего произвольного выбора моментов, в которые мы засекаем положение тела и время. Предполагая, что скорость меняется, но не бесконечно быстро, получаем, что чем ближе эти два момента времени, тем меньше неопределённости в измерении скорости, так что при переходе к пределу мы получим оценку скорости, зависящую только от единственного момента измерения, а не от того, насколько раньше интересующего нас момента мы начали и насколько позже закончили мерять.

[popolznev]

(Оффтоп)

Евгений Машеров в сообщении #953964 писал(а):

Движение существует, чтобы Вы с Зеноном о нём не думали...

Что бы вы ни думали (простите). А то у вас получилось: движение для того и существует, чтобы ни Зенон о нём не думал, ни автор темы.

В остальном - вы очень правы.

[Евгений Машеров]

(Оффтоп)

Спасибо. Исправил эту (и прочие) опечатки.

[Лукомор]

TheFobos в сообщении #953848 писал(а):

Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой.

Здесь ошибка.
Скорость в любой момент времени должна быть равна $v(t)=v_0+at$, по крайней мере для равноускоренного движения...
А это далеко не всегда ноль...

[Nurzery[Rhymes]]

ИСН в сообщении #953927 писал(а):

Спидометр машины - по-моему, исчерпывающее пояснение. Вот мы сели, разогнались от 0 до 60. Стрелка исчезла на 0 и появилась на 60? Нет, она прошла через все промежуточные значения, в том числе через 30. Какая была скорость в тот момент? Такая и была: 30. Сколько времени она была такая? Нисколько. Это мгновенная скорость.

Плохая аналогия. Если скорость внезапно спадет до нуля, спидометр не сможет мгновенно отреагировать на это событие и какое-то время будет показывать прежнюю скорость, которая плавно уменьшается.

Если мы резко остановим время, какая скорость будет у движущегося тела? Да никакой, потому что оно стоит на месте. Производная показывает скорость на бесконечно малом отрезке времени, этот отрезок стремится к нулю, но никогда им не станет. Поэтому производная не показывает мгновенную скорость. Мгновенная скорость - это скорость тела в тот момент, когда время остановилось и его приращение равно нулю. Но при вычислении производной приращение отлично от нуля.

Цитата:

с пониманием остального у меня никаких проблем нет, равно как и с вычислением производных, а вот с пониманием производной - беда

Это нормально. Преподавателям важнее предоставить отчеты об успеваемости по окончанию сессии, чем научить. Им платят деньги не за то, что кто-то глубоко разобрался в смысле какого-то математического понятия. Поэтому на парах учат в основном практике, т.к. показателем успеваемости считается умение вычислять на бумажке. Для этого не нужно глубокое понимание предмета. Люди, не понимающие смысл того, что они делают - жертвы образовательной системы.

-- 29.12.2014, 15:58 --

Лукомор в сообщении #953993 писал(а):

TheFobos в сообщении #953848 писал(а):

Момент - не прошло никакого времени, и, следовательно, любой объект остался на месте. Следовательно, скорость в момент должна быть нулевой.

Здесь ошибка.
Скорость в любой момент времени должна быть равна $v(t)=v_0+at$, по крайней мере для равноускоренного движения...
А это далеко не всегда ноль...

А где доказательство, что для любого движущегося тела скорость в любой момент определяется каким-то уравнением? Это нам удобно так считать. Потому что так проще моделировать. На деле это такая же бессмыслица, как одномерные и двумерные пространства. Вот покажите двумерное пространство? Если одно измерение отсутствует (например, плоскость не имеет толщины), то этого просто не существует. Если толщина есть (допустим, бесконечно тонкая - физики любят фантазировать о свернутых измерениях), то это уже не двумерное пространство.

[Aritaborian]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #954013 писал(а):

Плохая аналогия.

У ИСН плохих аналогий не бывает. Если вы её не поняли, это ваша проблема.

Nurzery[Rhymes] в сообщении #954013 писал(а):

Это нормально.

Это ненормально. Очень вам сочувствую, если вы живёте в таком мире, где такое — нормально.