Доказать полноту метрического пространства(Функциональный а)

[Gdasar]

Здравствуйте.
Есть задание:
доказать,что $l_5$-полное метрическое пространство.
Алгоритм проверки полноты:
1) Берем фунд. последовательность , записываем условие фундаментальности.
2) Строим поточечный или покоординатный предел(пользуясь критерием Коши)
3) Проверяем, что полученный предел лежит в данном метрическом пространстве.
4) Доказываем, что сходимость будет в данном метрическом пространстве.

Мне удалось доказать только первые два пункта.
$x=(x_1...x_n...)$
$\rho (x,y)=(\sum_{i=1}^{n}\left | x_i^{(k)}-x_i \right |^p)^{1/p} ; p\geq 1$
1) Фундаментальная последовательность
$\{x^{(m)}\}$
$\forall \varepsilon >0,\exists m_0(\varepsilon )\in \mathbb{N} $ такое что для $\forall k\geqslant m_0 , \forall l\geqslant m_0 \Rightarrow \rho (x^{(k)},x^{(l)}) < \varepsilon $
То есть
$(\sum_{i=1}^{\propto }\left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |^p)^{1/p} < \varepsilon $
2) Зафиксируем координату $i\in \mathbb{N}$
$x_i^{(1)},x_i^{(2)}...$- чисовая последовательность $\Rightarrow \left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |=(\left |x_i^{(k)},x_i^{(l)} \right |^p)^{1/p}\leqslant (\sum_{i=1}^{\propto }\left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |^p)^{1/p}$
$\forall \varepsilon >0,\exists m_0(\varepsilon )\in \mathbb{N} $ такое что для $\forall k\geqslant m_0 , \forall l\geqslant m_0 \Rightarrow \left | x_i^{(k)}-x_i^{(l)} \right |< \varepsilon \Rightarrow$ [По критерию Коши]$\Rightarrow \exists \lim_{m\rightarrow \propto }x_i^{(m)}=x_i\in \mathbb{R}$ то есть $x=(x_1...x_n...)$ - предельный элемент.
3) Сумма не конечна, так как последовательность бесконечна. Нужно доказать, что предел лежит в метрическом пространстве.
4) $\rho (x^{(m)},x)\rightarrow 0 ?$
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=0$
Сумма конечного числа бесконечно малых,бесконечно мала.
Вот теперь нужно как-то обратно перейти к бесконечной сумме. Я не знаю, как это сделать.

Скажите, пожалуйста, как доказать последние два пункта.
Все,что написанно выше, проверенно преподователем.

[demolishka]

Лемму Фату знаете?

[Gdasar]

demolishka
такой леммы в теории не было.

[demolishka]

Вот у вас есть неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$. Оно также верно для конечных сумм. Дальше нужно дважды использовать предельный переход.

Но с леммой Фату все было бы проще.

[Gdasar]

То есть
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=0$ , так как числовая последовательность $x_i^{(m)}$ стремится к предельному элементу $x_i$.
Получаем,что
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{\propto}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})\geq\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})$
Следовательно
$\lim_{m\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{\propto}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})\rightarrow 0$
Так?

[demolishka]

Нет. Внимательно посмотрите то, что я написал: это условие фундаментальности последовательности в $l^p$, а не то, что у Вас.

[Gdasar]

demolishka,не понимаю:(

[demolishka]

Цитата:

Вот у вас есть неравенство $\sum\limits_{k=1}^{\infty}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$. Оно также верно для конечных сумм.

Вот запишите неравенство для конечной суммы.

[Gdasar]

$\sum\limits_{k=1}^{N}|x_{k}^{(n)}-x_{k}^{(m)}|^p \leq \varepsilon^p$, где N какое-то число?

[demolishka]

Цитата:

где N какое-то число

Не какое-то, а любое.

Теперь как из написанного неравенства получить неравенство $\sum\limits_{k=1}^{N}|x_{k}^{(n)}-x_{k}|^p \leq \varepsilon^p$?

[Gdasar]

Из бесконечности взять любое число.

[demolishka]

Ну бред-то не несите. Подумайте, что у Вас имеется и что нужно получить.

[Gdasar]

у нас есть бесконечная числовая последовательность.
теперь нам нужно от бесконечной последовательности, как-то перейти к конечной. но как? из бесконечной последовательности убрать бесконечное число элементов. - бред...
или зафиксировать номер какого-то элемента и суммировать до него...

[demolishka]

Вы вообще знаете, что такое предельный переход в неравенствах?

[Gdasar]

$\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}-x_i \right |^p)^{1/p})=\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i^{(m)}\right |^p)^{1/p}) - \lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left |x_i \right |^p)^{1/p})$
Следет,что
$\lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left | x_i \right |^p)^{1/p}) \geq \lim_{i\rightarrow \propto }(\sum_{i=1}^{N}(\left |x_i{(m)} \right |^p)^{1/p})$
http://www.pm298.ru/predeln.php