Зорич, задача 22 с)

[gefest_md]

Цитата:

Упорядочите множество $\mathbb{P}[x]$ многочленов с рациональными или действительными коэффициентами, считая $P_m(x)=a_0+a_1x+\ldots+a_mx^m\succ 0$, если $a_m>0.$

Понятно, что надо как-то упорядочить это множество, задать отношение. Может ли быть, что это отношение надо свести к отношению порядка между числами? "считая ... " ставит меня в затруднение. Короче, я не могу расшифровать условие задачи. Пожалуйста, помогите.

[ИСН]

Вычтем один многочлен из другого. Когда первый "больше" второго? Да когда их разность "больше" нуля. А это как определить? А вот так.

[gefest_md]

Спасибо, ИСН. Тогда это будет отношение такого же вида, как и отношение "строго больше" между числами.

[ИСН]

Любое отношение порядка - это отношение такого же вида. Или Вы что имели в виду?

[gefest_md]

Я имел в виду что отношение $\{(P(x),Q(x))\in\mathbb{P}^2[x]\mid P(x)-Q(x)\succ 0\}$, также как $>$, удовлетворяет, как мне кажется, условиям нерефлексивности, транзитивности и трихотомии.

[ИСН]

Ну да, разумеется. Любое отношение порядка им удовлетворяет. А то, что это - отношение порядка, Вам сказали в условии. Собственно, я не очень врубился, что же надо сделать. Может, переформулировать его без понятия разности, чисто в терминах коэффициентов исходных многочленов?

[Otta]

gefest_md
А откуда эта задача? Вы не могли бы более точные координаты указать?

Upd Нашла. Глава II, параграф 2, задача 21 с)

[provincialka]

А трихотомия зачем? Это уж будет линейный порядок. А ваш - явно частичный.

[gefest_md]

Зорич не говорит "если неверно, что $a_m>0$, то неверно, что $P_m(x)\succ 0$". Без этого не доказать нерефлекивность отношения

gefest_md в сообщении #953754 писал(а):

$\{(P(x),Q(x))\in\mathbb{P}^2[x]\mid P(x)-Q(x)\succ 0\}$.

[provincialka]

Это вы о чем? Зорича у меня нет, так что всю задачу не вижу. Но приведенное вами условие понимаю как "тогда и только тогда".

И все-таки, что требуется в задаче?

[gefest_md]

Задачу я процитировал целиком вначале. Возможно была допущена опечатка. В издании 2012 года нашёл немало опечаток уже в первых двух главах.

[provincialka]

Непонятная задача (скачала Зорича). Что имелось в виду? Придумать линейный порядок, для полиномов? Нереально (то есть нереально его внятно описать). Наверное, достаточно этого:

ИСН в сообщении #953680 писал(а):

Вычтем один многочлен из другого. Когда первый "больше" второго? Да когда их разность "больше" нуля. А это как определить? А вот так.

[arseniiv]

provincialka в сообщении #953773 писал(а):

А ваш - явно частичный.

Хе-хе, и линейный тоже. Даже конкретно лексикографический на коэффициентах. Ну вот, раскрыл карты, и теперь мне полагается предупреждение.

provincialka в сообщении #953789 писал(а):

И все-таки, что требуется в задаче?

Кстати, мне тоже ничего кроме

ИСН в сообщении #953759 писал(а):

Может, переформулировать его без понятия разности, чисто в терминах коэффициентов исходных многочленов?

в голову не пришло.

-- Пн дек 29, 2014 03:22:41 --

В принципе у этого порядка есть какой-никакой смысл: если $P(x)\succ Q(x)$, то $\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} > 1$. Притянуто за уши, согласен.

UPD: Не только притянуто, но и перетянуто, и утверждение, конечно, верно лишь при $Q(x)\succ0$.

[grizzly]

arseniiv в сообщении #953798 писал(а):

В принципе у этого порядка есть какой-никакой смысл: если $P(x)\succ Q(x)$, то $\lim_{x\to+\infty}\frac{P(x)}{Q(x)} > 1$. Притянуто за уши, согласен.

Тоже согласен. Особенно если учесть, что указанный смысл весьма сомнителен при отрицательных старших коэффициентах.

[provincialka]

arseniiv
А, ну да, лексикографический можно. Если понимать задачу как "порядок, согласованный с условием", а не "однозначно определяемый условием".