Логика и методология математики.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #953511 писал(а):

И как прикажете это понимать?

Я же говорю: Понимайте как моё личное мнение. Может Вы мне объясните какая польза. Кстати, касательно выводимости всей математики — тут ещё надо подумать каков смысл этой выводимости. Вот например, известно, что в рамках ZFC можно определить натуральные числа и вывести всю арифметику Пеано. Но для этого, как минимум, надо сформулировать что такое «натуральное число», ибо в самой аксиоматике ZFC, разумеется, таких формулировок нет.

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #953518 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #953511 писал(а):

И как прикажете это понимать?

Я же говорю: Понимайте как моё личное мнение. Может Вы мне объясните какая польза. Кстати, касательно выводимости всей математики — тут ещё надо подумать каков смысл этой выводимости. Вот например, известно, что в рамках ZFC можно определить натуральные числа и вывести всю арифметику Пеано. Но для этого, как минимум, надо сформулировать что такое «натуральное число», ибо в самой аксиоматике ZFC, разумеется, таких формулировок нет.

Я попробую объяснить какая польза. Здесь даже не о пользе речь, а о необходимости. Например, Уайлз доказал великую теорему Ферма, а как без аксиом теории множеств можно убедиться, что он действительно её доказал?

[epros]

Честно говоря, я ничего не знаю о доказательстве Уайлза и не могу ничего сказать про то, нужна ли там теория множеств. По моим колхозным понятиям, если для доказательства ВТФ требуется более сильная аксиоматика, чем в арифметике, то такое доказательство уже сильно сомнительно.

[Феликс Шмидель]

А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?

[Xaositect]

Феликс Шмидель в сообщении #953611 писал(а):

А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?

Для большинства матанализа достаточно слабых подсистем арифметики второго порядка.

epros в сообщении #953574 писал(а):

Честно говоря, я ничего не знаю о доказательстве Уайлза и не могу ничего сказать про то, нужна ли там теория множеств. По моим колхозным понятиям, если для доказательства ВТФ требуется более сильная аксиоматика, чем в арифметике, то такое доказательство уже сильно сомнительно.

Погуглил немного, как я понимаю, там такая ситуация: Уайлс использует теорию, для которой Гротендик в своих работах использовал аксиому о существовании универсума, то есть эта теория формализуется в ZFC + 1 недостижимый кардинал. С другой стороны, специалисты в основном считают, что использование этой теории для анализа кривой $x^n + y^n = 1$ может быть формализовано в некоторой арифметике высшего порядка.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #953611 писал(а):

А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?

По-моему, многие результаты математического анализа сами по себе на порядок убедительнее теоретико-множественных аксиом, так что как-то странно их «обосновать» таким образом. Но есть, кстати и очень странные результаты, выводимые именно из теоретико-множественных аксиом, которые как раз и наводят на мысли об избыточности последних.

[Феликс Шмидель]

Я думаю, что сомневаться в доказательстве ВТФ на основе $ZFC$ это значит сомневаться в непротиворечивости этой теории. В самом деле, если ВТФ следует из $ZFC$ и уравнение Ферма имеет решения, то $ZFC$ противоречива. Очень странные результаты это ещё не противоречие.

[epros]

Причём тут противоречия? Можно напридумывать кучу совершенно безумных непротиворечивых теорий. Это же не повод верить всему, что в них выводится.

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #953689 писал(а):

Причём тут противоречия? Можно напридумывать кучу совершенно безумных непротиворечивых теорий. Это же не повод верить всему, что в них выводится.

Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #953692 писал(а):

Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.

С чего бы это?

[Феликс Шмидель]

epros в сообщении #953710 писал(а):

Феликс Шмидель в сообщении #953692 писал(а):

Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.

С чего бы это?

С того, что если уравнение Ферма имеет решение, то подставив его получим доказательство в $ZFC$, что оно имеет решение, а поскольку из $ZFC$ следует ВТФ, то получим противоречие.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #953716 писал(а):

С того, что если уравнение Ферма имеет решение, то подставив его получим доказательство в $ZFC$, что оно имеет решение, а поскольку из $ZFC$ следует ВТФ, то получим противоречие.

Ну и что? Каким образом отсюда следует справедливость ВТФ? А если у нас есть непротиворечивая теория, в которой есть аксиома «все люди — негры», то мы отсюда должны сделать вывод, что мы с Вами — негры? Только потому, что это выводится в непротиворечивой теории?

[Феликс Шмидель]

Если найдя этих белых людей можно получить в нашей теории доказательство, что они существуют, то такая теория не может быть непротиворечивой. А найдя решение уравнения Ферма можно найти в $ZFC$ доказательство, что это уравнение имеет решение. Можно даже написать компьютерную программу, получающую на вводе 3 числа, проверяющую, что они удовлетворяют ВТФ, и если это так, генерирующую доказательство в $ZFC$, что уравнение Ферма имеет решение.

[epros]

Феликс Шмидель в сообщении #953744 писал(а):

Если найдя этих белых людей можно получить в нашей теории доказательство, что они существуют, то такая теория не может быть непротиворечивой.

У Вас странные понятия о теориях. Теория может не иметь никакого отношения к реальности. А непротиворечивость — это внутреннее свойство теории. Так что может быть непротиворечивой теория, утверждающая, что все люди — негры. Не смотря на существование в реальности белых людей.

[Феликс Шмидель]

Вы спорите не только со мной, но и с приведённой мной цитатой из Миши Вербицкого. Что Вы скажите насчёт программы генерирующей доказательство в $ZFC$?