2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 17  След.
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 17:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Феликс Шмидель в сообщении #953511 писал(а):
И как прикажете это понимать?
Я же говорю: Понимайте как моё личное мнение. Может Вы мне объясните какая польза. Кстати, касательно выводимости всей математики — тут ещё надо подумать каков смысл этой выводимости. Вот например, известно, что в рамках ZFC можно определить натуральные числа и вывести всю арифметику Пеано. Но для этого, как минимум, надо сформулировать что такое «натуральное число», ибо в самой аксиоматике ZFC, разумеется, таких формулировок нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 17:43 


31/03/06
1384
epros в сообщении #953518 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #953511 писал(а):
И как прикажете это понимать?
Я же говорю: Понимайте как моё личное мнение. Может Вы мне объясните какая польза. Кстати, касательно выводимости всей математики — тут ещё надо подумать каков смысл этой выводимости. Вот например, известно, что в рамках ZFC можно определить натуральные числа и вывести всю арифметику Пеано. Но для этого, как минимум, надо сформулировать что такое «натуральное число», ибо в самой аксиоматике ZFC, разумеется, таких формулировок нет.


Я попробую объяснить какая польза. Здесь даже не о пользе речь, а о необходимости. Например, Уайлз доказал великую теорему Ферма, а как без аксиом теории множеств можно убедиться, что он действительно её доказал?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 18:38 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Честно говоря, я ничего не знаю о доказательстве Уайлза и не могу ничего сказать про то, нужна ли там теория множеств. По моим колхозным понятиям, если для доказательства ВТФ требуется более сильная аксиоматика, чем в арифметике, то такое доказательство уже сильно сомнительно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 19:50 


31/03/06
1384
А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 20:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Феликс Шмидель в сообщении #953611 писал(а):
А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?
Для большинства матанализа достаточно слабых подсистем арифметики второго порядка.

epros в сообщении #953574 писал(а):
Честно говоря, я ничего не знаю о доказательстве Уайлза и не могу ничего сказать про то, нужна ли там теория множеств. По моим колхозным понятиям, если для доказательства ВТФ требуется более сильная аксиоматика, чем в арифметике, то такое доказательство уже сильно сомнительно.
Погуглил немного, как я понимаю, там такая ситуация: Уайлс использует теорию, для которой Гротендик в своих работах использовал аксиому о существовании универсума, то есть эта теория формализуется в ZFC + 1 недостижимый кардинал. С другой стороны, специалисты в основном считают, что использование этой теории для анализа кривой $x^n + y^n = 1$ может быть формализовано в некоторой арифметике высшего порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 20:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Феликс Шмидель в сообщении #953611 писал(а):
А как без теории множеств обосновать математический анализ? Будем сомневаться во всех результатах теории чисел, полученных аналитическими методами?
По-моему, многие результаты математического анализа сами по себе на порядок убедительнее теоретико-множественных аксиом, так что как-то странно их «обосновать» таким образом. Но есть, кстати и очень странные результаты, выводимые именно из теоретико-множественных аксиом, которые как раз и наводят на мысли об избыточности последних.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 21:30 


31/03/06
1384
Я думаю, что сомневаться в доказательстве ВТФ на основе $ZFC$ это значит сомневаться в непротиворечивости этой теории. В самом деле, если ВТФ следует из $ZFC$ и уравнение Ферма имеет решения, то $ZFC$ противоречива. Очень странные результаты это ещё не противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 21:49 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Причём тут противоречия? Можно напридумывать кучу совершенно безумных непротиворечивых теорий. Это же не повод верить всему, что в них выводится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 21:54 


31/03/06
1384
epros в сообщении #953689 писал(а):
Причём тут противоречия? Можно напридумывать кучу совершенно безумных непротиворечивых теорий. Это же не повод верить всему, что в них выводится.


Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 22:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Феликс Шмидель в сообщении #953692 писал(а):
Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.
С чего бы это?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 22:22 


31/03/06
1384
epros в сообщении #953710 писал(а):
Феликс Шмидель в сообщении #953692 писал(а):
Я же только что доказал, что если $ZFC$ непротиворечива и из неё следует ВТФ, то ВТФ справедлива.
С чего бы это?


С того, что если уравнение Ферма имеет решение, то подставив его получим доказательство в $ZFC$, что оно имеет решение, а поскольку из $ZFC$ следует ВТФ, то получим противоречие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 22:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Феликс Шмидель в сообщении #953716 писал(а):
С того, что если уравнение Ферма имеет решение, то подставив его получим доказательство в $ZFC$, что оно имеет решение, а поскольку из $ZFC$ следует ВТФ, то получим противоречие.
Ну и что? Каким образом отсюда следует справедливость ВТФ? А если у нас есть непротиворечивая теория, в которой есть аксиома «все люди — негры», то мы отсюда должны сделать вывод, что мы с Вами — негры? Только потому, что это выводится в непротиворечивой теории?

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 22:49 


31/03/06
1384
Если найдя этих белых людей можно получить в нашей теории доказательство, что они существуют, то такая теория не может быть непротиворечивой. А найдя решение уравнения Ферма можно найти в $ZFC$ доказательство, что это уравнение имеет решение. Можно даже написать компьютерную программу, получающую на вводе 3 числа, проверяющую, что они удовлетворяют ВТФ, и если это так, генерирующую доказательство в $ZFC$, что уравнение Ферма имеет решение.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 23:01 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/09/06
10856
Феликс Шмидель в сообщении #953744 писал(а):
Если найдя этих белых людей можно получить в нашей теории доказательство, что они существуют, то такая теория не может быть непротиворечивой.
У Вас странные понятия о теориях. Теория может не иметь никакого отношения к реальности. А непротиворечивость — это внутреннее свойство теории. Так что может быть непротиворечивой теория, утверждающая, что все люди — негры. Не смотря на существование в реальности белых людей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Логика и методология математики.
Сообщение28.12.2014, 23:13 


31/03/06
1384
Вы спорите не только со мной, но и с приведённой мной цитатой из Миши Вербицкого. Что Вы скажите насчёт программы генерирующей доказательство в $ZFC$?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 255 ]  На страницу Пред.  1 ... 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 ... 17  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group