Потенциальная яма

[Sicker]

Может ли в трехмерной(двухмерной) потенциальной яме с бесконечно высокими стенками два набора трех(двух) квантовых чисел, не являющимися перестановкой друг друга, определять один и тот же уровень энергии?
Вроде нет, но как это доказать?

[Red_Herring]

Конечно может (в зависимости от формы ямы)

[Sicker]

а если квадратная(кубическая)?

[Red_Herring]

Ну разумеется: рассмотрим именно квадратную $1\times1$ яму: т.е. оператор Лапласа с граничными условиями Дирихле в таком квадрате; у $-\Delta$ с.з. будут $\pi^2(m^2+n^2)$ с $m,n=1,2,3,…$. Ну и легко найти такие различные пары дающие одни и те ж с.з. (напр. $49+1=25+25$)

[Sicker]

а вырожденность энергетического уровня мы считаем как кол-во всех возможных пар квантовых чисел, отождествляя все перестановочные пары, или нет?

[Ms-dos4]

Перестановки тоже учитывают

[Sicker]

ясно
А вот если рассмотрим волновую функцию электрона в атоме водорода, то если скажем мы повернем систему координат на какой-то угол, то тогда полученная волновая функция повернется на какой-то угол, и будет описывать состояние с той же энергией и квантовыми числами
Но угол непрерывен, получается бесконечномерное вырождение?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #953533 писал(а):

а вырожденность энергетического уровня мы считаем как кол-во всех возможных пар квантовых чисел, отождествляя все перестановочные пары, или нет?

В зависимости от задачи, Если у Вас реально двумерная частица, то пары $(m,n)$ и $(m,n)$ с $m\ne n$ различны. Если у Вас пара невзаимодействующих одномерных бозонов, то — нет; если у Вас пара невзаимодействующих одномерных фермионов (ну, в природе бесспиновых фермионов нет, но у нас toy–model) то тоже нет, причём $(m,m)$ вообще запрещены; однако и тут можно найти вырожденные уровни в том же примере (сами ищите).

С другой стороны если взять прямоугольник вместо квадрата то с.з. будут $\pi^2\bigl( \frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\bigr)$ то при подходящих $a:b$ вырожденных с.з. не будет.

Но вообще многомерный Лапласиан может иметь с.з. огромной кратности

-- 28.12.2014, 10:00 --

Sicker в сообщении #953547 писал(а):

А вот если рассмотрим волновую функцию электрона в атоме водорода, то если скажем мы повернем систему координат на какой-то угол, то тогда полученная волновая функция повернется на какой-то угол, и будет описывать состояние с той же энергией и квантовыми числами
Но угол непрерывен, получается бесконечномерное вырождение?

Бесконечномерного вырождения не будет (повернув на угол Вы можете получить ту же с точностью до постоянного множителя в.ф.), но вообще-то в атоме водорода (без внешних полей) все с.з. кроме низшего вырождены.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #953548 писал(а):

Бесконечномерного вырождения не будет (повернув на угол Вы можете получить ту же с точностью до постоянного множителя в.ф.)

да ну, те при повороте полученная волновая функция будет исходной, но глобально умноженной на какую-то фазу?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #953552 писал(а):

да ну, те при повороте полученная волновая функция будет исходной, но глобально умноженной на какую-то фазу?

Да.

Но если есть вырождение, то если $\psi_1,…,\psi_N$ принадлежат одному собственному подпространству и образуют базис там, то при повороте мы получим линейные комбинации тех же функций.

[Sicker]

а что вы думаете насчет задачи в этой теме?-http://dxdy.ru/topic88677.html
ведь у волновой функции электрона в атоме водорода меняется фаза в зависимости от угла

-- 28.12.2014, 18:20 --

или у основного состояния постоянная фаза?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #953562 писал(а):

ведь у волновой функции электрона в атоме водорода меняется фаза в зависимости от угла

Ну и что? Никакого противоречия. Скажем, у функции $e^{ix}$ на окружности фаза $x$ зависит от угла $x$, но при повороте функция приобретает множитель.

[Sicker]

Red_Herring в сообщении #953564 писал(а):

Ну и что? Никакого противоречия. Скажем, у функции $e^{ix}$ на окружности фаза $x$ зависит от угла $x$, но при повороте функция приобретает множитель.

но на сфере это уже не так

-- 28.12.2014, 18:28 --

так как группа вращений сферы богаче, чем окружности

-- 28.12.2014, 18:29 --

правильно ли я понимаю, что у волновой функции электрона в основном состоянии атома водорода фаза волновой функции не зависит от угла?

-- 28.12.2014, 18:31 --

если мы возьмем волновую функцию электрона в атоме водорода, которая является суммой двух волновых функций, соответствующих одинаковой энергии, но имеющей разные квантовые числа, то что это волновая функция будет описывать?
Состояние электрона в суперпозиции состояний, соответствующим двум различным квантовым числам?

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #953566 писал(а):

правильно ли я понимаю, что у волновой функции электрона в основном состоянии атома водорода фаза волновой функции не зависит от угла?

Да. Но более того, и на других уровнях такие функции есть.

Sicker писал(а):

если мы возьмем волновую функцию электрона в атоме водорода, которая является суммой двух волновых функций, соответствующих одинаковой энергии, но имеющей разные квантовые числа, то что это волновая функция будет описывать?
Состояние электрона в суперпозиции состояний, соответствующим двум различным квантовым числам?

Я Вам дам 2 разных ответа. Первый (абстракная теория операторов): все волновые функции соответствующие одному и тому же уровню "равны" (равноправны) в том смысле, что нет никакого основания предпочесть одну другой. Ведь если у Вас есть матрица и у нее есть кратное собственное значение то все собственные вектора ему соответствующие равноправны. Вот $n$ и нумерует уровни энергии.

Второй учитывает нюанс: если мы разделим частично переменные—в одну стороны радиальную, в другую угловые, $\psi = R(r ) Y(\theta,\phi)$, то $Y$ будет сферической функцией (т.е. с. функцией Лапласиана на сфере), и большая часть функций забракуется, останутся только некоторые, но по ним все остальные разложатся (мы говорим только об определенном уровне энергии). Но у этого самого Лапласиана на сфере собственные значения тоже вырождены (исключая наинизшее) и там уже все с.ф. абсолютно равноправны—пока мы не трогаем этот самый атом грязными лапами. А вот $l$ нумерует с.з. Лапласиана на сфере. И на самом деле $Y$ зависит только от $l$, а $R$ и от $n$ и от $l$.

И наконец, если мы выделим направление $z$ (и тем самым реально определим $\theta,\phi$), то нарисуется еще одно квантовое число

[Sicker]

Если мы рассмотрим волновую функцию, у которлй есть какие то значения квантовых чисел, то если мы теперь повернем нашу сферическую систему координат, то у получившейся водновой функции будут такие же квантовые числа или другие?