Вероятность попадания в область.

[tazdraperm]

Здравствуйте, снова нужна ваша помощь!
Двумерная случайная величина ($\xi,\eta$) имеет функцию распределения

$$ F(x,y) = \left\{ \begin{array}{l l} 0, &\ \min(x,y)<0, \\ \min(x,y), &\ 0\leq \min(x,y)\leq1, \\ 1 &\ \min(x,y)>1. \end{array} \right. $$

Найти P{$(\xi-\frac{1}{2})^2+(\eta-\frac{1}{2})^2\leq\frac{1}{4}$}

Мое решение:
Искомая вероятность -- это вероятность попадания точки $(\xi,\eta)$ в окружность с радиусом $\frac{1}{2}$ и центром в точке $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Уравнение такой окружности имеет вид $(x-\frac{1}{2})^2+(y-\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$
Для нахождения этой вероятности разобьем данную окружность на прямоугольные области с бесконечно малой высотой dy, посчитаем вероятность попадания в каждую такую область и сложим эти вероятности. Выражая x через y из уравнения окружности, получим координаты нижнего левого и верхнего правого угла такого прямоугольника:
$(-\sqrt{y-y^2}+\frac{1}{2},y)$ и $(\sqrt{y-y^2}+\frac{1}{2},y+dy)$
Посчитаем вероятность попадания двумерной величины в такой прямоугольник.
$P\{a<\xi<b,c<\eta<d\}=(F(b,d)-F(a,d))-(F(b,c)-F(a,c))$ В условиях данной задачи $a=-\sqrt{y-y^2}+\frac{1}{2}$, $b=\sqrt{y-y^2}+\frac{1}{2}$, $c=y$, $d=y+dy$
Получаем $P=\min(b,d)-\min(a,d)-\min(b,c)+\min(a,c)$.
Решим неравенство b>d:
$\sqrt{y-y^2}+\frac{1}{2}>y+dy$, опустим dy, как бесконечно малое, решим неравенство, получим $y\in[\frac{2+\sqrt{2}}{4},1)$, а значит b>d на этом промежутке и b$\le$d для всех остальных $y$ из промежутка $[0,1]$.
Аналогично решим неравенства a>d, b>c, a>c
Используя решения этих неравенств мы можем посчитать значения функций минимума и вероятность $P\{a<\xi<b,c<\eta<d\}$ на промежутке $(\frac{2-\sqrt{2}}{4},\frac{2+\sqrt{2}}{4})$. Такая вероятность будет равна $d-a-c+a=d-c=dy$
А вне этого промежутка эта вероятность будет равна $b-a-b+a=0$, если $y\ge\frac{2+\sqrt{2}}{4}$ и $d-d-c+c=0$, если $y\le\frac{2-\sqrt{2}}{4}$

Таким образом, получаем:

$$P=\left\{ \begin{array}{l l} 0, &\ y\ge\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}, 0, &\ y\le\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4},\\ dy, &\ \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}<y<\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}. \end{array} \right.$$

Теперь просуммируем все такие бесконечно малые прямоугольники:

$$P\{(\xi-\frac{1}{2})^2+(\eta-\frac{1}{2})^2\leq\frac{1}{4}\}=\int_{\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{4}}^{\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}}dy=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Но, судя по всему, это решение неверное. Подскажите, в каком направлении копать.

[provincialka]

Дежа вю! «Двумерный случайный вектор и работа с ним»

[Otta]

Там, в общем-то, особо не на что смотреть.

[provincialka]

tazdraperm
А вы рассмотрите прямоугольник, целиком лежащий в области $y\ge x$. Чему равна вероятность попасть в него? То же для прямоугольника, лежащего в области $y\le x$

[tazdraperm]

provincialka, вероятность попадания в любую область, не пересекающую прямую y=x, равна нулю. А значит вся величина сосредоточена на прямой y=x. Руководствуясь такими рассуждениями, получаем, что вероятность попасть в прямоугольник с высотой dy, который пересекает прямую y=x, равна длине "куска" прямой y=x, который захватывает такой прямоугольник (а именно $\sqrt{2}dy$) делить на "кусок" той же прямой, который захватывает вся область, в которой распределена случайная величина(то есть $\sqrt{2}$). Получается $\frac{\sqrt{2}dy}{\sqrt{2}}=dy$. Ровно то же, что написано у меня в решении. И даже если взять по-простому: диаметр круга делить на корень из двух, то выходит $\frac{1}{\sqrt{2}}$, то есть то же, что вышло и у меня в решении.
Может всё таки и мое решение правильное? Там, конечно, более сложное решение, с использованием формулы вероятности попадания в прямоугольную область, с решением всех функций минимум, с интегралом, но мне кажется, что это вполне себе жизнеспособное решение. Я был бы рад, если бы Вы указали мне, что в нём не так и почему преподаватель мог его не засчитать.

[--mS--]

Да всё так. Но и преподавателя следует понять, когда устная задачка решается с помощью таких выкладок

[tazdraperm]

--mS--, тогда такой вопрос, как придти к такому ответу более простыми рассуждениями? Точнее как мне по-научному объяснить, что вся величина сосредоточена на прямой y=x? Сказать, что методом исключения, раз для всякого прямоугольника, не пересекающего прямую, вероятность равна нулю, а следовательно, вся величина сосредоточена только на прямой y=x?

[--mS--]

А Вы последуйте совету из той темы:

--mS-- в сообщении #951907 писал(а):

Напишите определение функции распределения вектора $(\xi,\,\eta)$ и попробуйте сравнить определение с результатом:

Harfangi в сообщении #951886 писал(а):

$\min(x,y) = y, 0<y<x<1$
$\min(x,y) = x, 0<x<y<1$

Может быть, отсюда станет ясно, что из себя представляет этот вектор $(\xi,\,\eta)$.

Какой паре случайных величин отвечает такая функция распределения?

-- Вс дек 28, 2014 01:44:02 --

Тем более, что ответ-то Вам известен, только сформулировать его следует правильно.

[tazdraperm]

--mS--, итак:
$F(x,y)= P\{\xi<x,\eta<y\}$. Если x<y, то имеем $F(x,y)=x, P\{\xi<x,\eta<y\}=x$. Если же y<x, то $F(x,y)=y, P\{\xi<x,\eta<y\}=y$. То есть выше прямой y=x, двумерная величина $(\xi,\eta)$ вырождается в одномерную $\xi$, а ниже прямой в одномерную $\eta$. Но я не совсем понимаю, что дальше с этим делать..
Нужно как-то получить равномерное распределение на отрезке прямой y=x, при х (или y) от 0 до 1.

[--mS--]

tazdraperm в сообщении #953240 писал(а):

$F(x,y)= P\{\xi<x,\eta<y\}$. Если x<y, то имеем $F(x,y)=x, P\{\xi<x,\eta<y\}=x$. Если же y<x, то $F(x,y)=y, P\{\xi<x,\eta<y\}=y$.

Ну и как должна быть $\eta$ связана с $\xi$, если при всех $y>x\in [0,\,1]$

$$\mathsf P\{\xi<x,\,\eta<y\} = \mathsf P\{\xi < x\}?$$

В каком случае второе событие исчезнет из-под знака вероятности?
Какой должна быть $\xi$, если $\mathsf P\{\xi < x\}=x$ при всех $x\in [0,\,1]$?
То же самое при $x > y\in[0,\,1]$.

(Оффтоп)

tazdraperm в сообщении #953240 писал(а):

То есть выше прямой y=x, двумерная величина $(\xi,\eta)$ вырождается в одномерную $\xi$, а ниже прямой в одномерную $\eta$. Но я не совсем понимаю, что дальше с этим делать..
Нужно как-то получить равномерное распределение на отрезке прямой y=x, при х (или y) от 0 до 1.

Вот это совсем непонятные слова: ни $\xi$, ни $\eta$ ничего не знают ни про какие иксы и игреки, ни про какие прямые и куски плоскости. Знают про них только вероятности, или функции распределения.

И напишите-ка уравнение диагонали квадрата. А то что-то непонятно мне: что всё распределение сидит на диагонали, мы знаем. А как связаны случайные величины, не знаем...

[tazdraperm]

--mS-- в сообщении #953371 писал(а):

Ну и как должна быть $\eta$ связана с $\xi$, если при всех $y>x\in [0,\,1]$

$$\mathsf P\{\xi<x,\,\eta<y\} = \mathsf P\{\xi < x\}?$$

В каком случае второе событие исчезнет из-под знака вероятности?
Какой должна быть $\xi$, если $\mathsf P\{\xi < x\}=x$ при всех $x\in [0,\,1]$?
То же самое при $x > y\in[0,\,1]$.

Вот тут что-то загвоздка. $\mathsf P\{\xi < x\}=x=F(x)$ - это функция равномерного распределения $\xi$ на отрезке $[0,1]$ при $y>x$. А при $x>y$ получается $\mathsf P\{\eta < y\}=y=F(y)$ - опять же функция равномерного распределения $\eta$ на отрезке $[0,1]$. Дальше надо вывести какую-то связь между двумя величинами. Так и напрашивается написать, что $\xi=\eta$, но как-то не уверен в этом, да и не совсем понимаю, как это вывести, если это верно.

--mS-- в сообщении #953371 писал(а):

И напишите-ка уравнение диагонали квадрата. А то что-то непонятно мне: что всё распределение сидит на диагонали, мы знаем. А как связаны случайные величины, не знаем...

Ну, на плоскости это будет прямая y=x. А если смотреть на случайные величины, то.. $\xi=\eta$ что ли.

[--mS--]

tazdraperm в сообщении #953493 писал(а):

Вот тут что-то загвоздка. $\mathsf P\{\xi < x\}=x=F(x)$ - это функция равномерного распределения $\xi$ на отрезке $[0,1]$ при $y>x$.

Повторяю вопрос:

--mS-- в сообщении #953371 писал(а):

Ну и как должна быть $\eta$ связана с $\xi$, если при всех $y>x\in [0,\,1]$

$$\mathsf P\{\xi<x,\,\eta<y\} = \mathsf P\{\xi < x\}?$$

В каком случае второе событие исчезнет из-под знака вероятности?

tazdraperm в сообщении #953493 писал(а):

А если смотреть на случайные величины, то.. $\xi=\eta$ что ли.

Ну так можете найти функцию распределения пары $(\xi,\,\eta)$, где $\eta=\xi$, а $\xi$ имеет равномерное на $[0,\,1]$ распределение?

[tazdraperm]

--mS-- в сообщении #953515 писал(а):

tazdraperm в сообщении #953493 писал(а):

Вот тут что-то загвоздка. $\mathsf P\{\xi < x\}=x=F(x)$ - это функция равномерного распределения $\xi$ на отрезке $[0,1]$ при $y>x$.

Повторяю вопрос:

--mS-- в сообщении #953371 писал(а):

Ну и как должна быть $\eta$ связана с $\xi$, если при всех $y>x\in [0,\,1]$

$$\mathsf P\{\xi<x,\,\eta<y\} = \mathsf P\{\xi < x\}?$$

В каком случае второе событие исчезнет из-под знака вероятности?

tazdraperm в сообщении #953493 писал(а):

А если смотреть на случайные величины, то.. $\xi=\eta$ что ли.

Ну так можете найти функцию распределения пары $(\xi,\,\eta)$, где $\eta=\xi$, а $\xi$ имеет равномерное на $[0,\,1]$ распределение?

1)Когда $\xi=\eta$, видимо. Ведь если $\xi<x$, а $\eta=\xi$, то $\eta<x<y$, все верно и второе неравенство можно опустить.
2)$F(x,y)=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{2}}=x=y$

[--mS--]

И то, и другое неверно.

Начнём с первого. Когда $\mathsf P(A\cap B)=\mathsf P(A)$?

[tazdraperm]

$P(A\cap B) = P(A \mid B) P(B).$
То есть, если $P(A\mid B) = P(A)$, а $P(B)=1$, то $P(A\cap B)=P(A)$
То есть А не должно зависеть от B, а B должно быть достоверным событием.