Лэнг (Ленг), Алгебра, уплотнение башни абелевой группы

[lim(f(x))]

Башней (tower) называется последовательность подгрупп
$G_0 \supset G_1 \supset G_2 ... $

Башня называется нормальной, если $G_{i+1}$ нормальна в $G_i$. Если все подгруппы нормальны и абелевы - башня абелева, если нормальны и циклические - циклическая.

Уплотнением (refinement) башни называется башня, которая может быть получена вставкой конечного числа подгрупп в данную башню.

Доказывается утверджение о том, что всякая абелева башня конечной группы допускает циклическое уплотнение.

Если я правильно понимаю, для этого каждая подгруппа в башне должна быть циклической (чтобы в итоге вставили еще несколько подгрупп и все были циклическими).
Но не всякая конечная абелева группа является циклической, например, если взять как множество двоичные последовательности длины $N$, и как операцию побитовый XOR, получится абелева группа: есть единичный элемент (нули), для каджого элемента есть обратный (он сам), соблюдается ассоциативность и коммутативность. Но эта группа не порождается одним элементом.

В чем я ошибаюсь?

[Xaositect]

В определениях. Башня называется абелевой (циклической), если $G_{i + 1}$ нормальны в $G_i$ и фактор-группы $G_{i}/G_{i + 1}$ абелевы (циклические).
Например, башня $S_3\supset A_3 \supset C_1$ циклическая, несмотря на то что $S_3$ не абелева.

[lim(f(x))]

Спасибо