Определенный интеграл. Доказать равенство

[Scientia]

Доказать, что $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi f(\sin x)dx$.

Сделаем замену $U=\pi - x$, тогда $dx = - dU$, $\pi$ и $0$ — новые пределы интегрирования.
$\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $ \int\limits_\pi^0 (\pi - U) f(\sin (\pi - U)) (-dU) =$ $\int\limits_0^\pi (\pi - U) f(\sin U) dU = $ $ \pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$.
Вроде бы удалось приблизиться к доказательству, но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$?

[Sonic86]

Scientia в сообщении #952793 писал(а):

но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$?

Отсюда до искомой точки 2 шага.
Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.
Т.е. $\int\limits_a^b h(x)dx=\int\limits_a^b h(\text{ы})d\text{ы}$

[Scientia]

Sonic86 в сообщении #952799 писал(а):

Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.

Спасибо.
Т.е., исходя из свойства определенного интеграла, я могу записать неравенство $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $\pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$ следующим образом: $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx - \int\limits_0^\pi x f(\sin x) dx$
$\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx.