2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 21:41 
Доказать, что $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi  f(\sin x)dx$.

Сделаем замену $U=\pi - x$, тогда $dx = - dU$, $\pi$ и $0$ — новые пределы интегрирования.
$\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \int\limits_\pi^0  (\pi - U) f(\sin (\pi - U)) (-dU) =$ $\int\limits_0^\pi  (\pi - U) f(\sin U) dU = $ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$.
Вроде бы удалось приблизиться к доказательству, но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$?

 
 
 
 Re: Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 21:48 
Scientia в сообщении #952793 писал(а):
но как можно преобразовать полученное равенство $\int\limits_0^\pi  xf(\sin x)dx =$ $ \pi \int\limits_0^\pi  f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi  U f(\sin U) dU$?
Отсюда до искомой точки 2 шага.
Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.
Т.е. $\int\limits_a^b h(x)dx=\int\limits_a^b h(\text{ы})d\text{ы}$

 
 
 
 Re: Определенный интеграл. Доказать равенство
Сообщение26.12.2014, 22:37 
Sonic86 в сообщении #952799 писал(а):
Вспомните про то, что внутренняя переменная определенного интеграла - немая.

Спасибо.
Т.е., исходя из свойства определенного интеграла, я могу записать неравенство $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx =$ $\pi \int\limits_0^\pi f(\sin U) dU - \int\limits_0^\pi U f(\sin U) dU$ следующим образом: $\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \pi \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx - \int\limits_0^\pi x f(\sin x) dx$
$\int\limits_0^\pi xf(\sin x)dx = \frac \pi 2 \int\limits_0^\pi f(\sin x) dx.

 
 
 [ Сообщений: 3 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group