Решения однородного ДУ второго порядка

[Dmitro]

Добрый день.
Вопрос вроде бы простой, но не могу осознать результат.
Известно, что вид общего решения ОДУ второго порядка определяется типом корней ($p_1, p_2$) характеристического уравнения ($t$ – независимая переменная):
1) корни вещественные разные
$y(t)=C_1e^{p_1t}+C_2e^{p_1t}$
2) корни вещественные равные
$y(t)=(C_1+C_2t)e^{pt}$
3) корни комплексно-сопряженные ($p_{1,2}=a \pm jb$)
$y(t)=(C_1sin(bt)+C_2cos(bt))e^{at}$

Варианты 1) и 3) друг с другом связаны и из 1) можно получить 3) подставив комплексные корни.
А вот вид решения для случая 2) кажется не совсем очевидным. «Почему-то появляется» умножение на $t$. Подскажите пожалуйста литературу, где доказывается (доступно, на уровне математики для инженеров) почему решение для случая 2) имеет именно такой вид.
И существует ли универсальная запись решения ДУ 2-го порядка, чтобы подставить любые полученные корни, не задумываясь о их виде, и иметь результат.

Как-то тяжело это прочувствовать. Кажется что основа у всех вариантов разная. Если такие корни – то так, а если другие – то вот так. Какого-то общего и единого подхода не просматривается.

И еще один вопрос связанный с предыдущим. Почему при нахождении частного решения неоднородного ДУ с составляющей в правой части $e^{pt}$, где $p$ совпадает с корнем, частное решение нужно искать в виде $Ate^{pt}$? Опять умножение на $t$ добавляется!

[Red_Herring]

То, что общее решение при равных корнях имеет такой вид доказывается непосредственной проверкой. А вот получить 2) из 1) или 3) более интересно. Давайте осуществим в 1) предельный переход при $p_2\to p_1$. Только сделаем его по-умному, чтобы не получить $(C_1+C_2)e^{p_1t}$, где на самом деле только одна константа. Для этого запишем решение как $D_1e^{p_1t}+D_2(e^{p_2t}-e^{p_1t})/(p_2-p_1)$ с $D_1=C_1+C_2$, $D_2=(C_2-C_1)(p_2-p_1)$ и вот теперь переходя к пределу при $p_2\to p_1$ мы получим 2).

[Kink]

Хм, я вот осознавал член перед экспонентой как полином степени, равной "кратности корня в характеристическом уравнении минус один".

[Dmitro]

Спасибо, Red_Herring. Одолевал предел. Естественно сошлось – «появилась» $t$. Но всё равно как-то это всё кажется притянутым. Почему нельзя сразу предел сразу брать? Почему для $C_1$ и $C_2$ именно такая замена (кстати после подстановки очень похоже на знаменатель в коэффициентах частного решения при разных корнях). А если для $C_1$ и $C_2$ другую замену придумать, то может еще какое-нибудь решение появится. Как-то не могу «уложить» в голове всё это однозначно. Наверное вообще не чувствую что такое экспонента. Подскажите, где можно об этом поглубже почитать.
Точно, Kink. Спасибо. Только все рано, как-то на душе не спокойно. Почему у кратных корней полином есть, а у разных – нет. Универсальности опять нет: для одних корней одно, для других другое... Что-то основу не улавливаю.

[provincialka]

"Улавливаю", "чувствую" и т.п. - вещь индивидуальная, внутренняя.
А, может, вам просто взять и посчитать производные разных функций? Посмотреть, что получится. Попривыкнуть к их виду.

[Red_Herring]

Dmitro в сообщении #952225 писал(а):

Почему нельзя сразу предел сразу брать?

Ну давайте то же самое, но по-другому: решим задачу Коши для Вашего уравнения: $y(0)=a$, $y'(0)=b$ (это решение единственно и зависит от начальных условий непрерывно). Тогда

$$ y(t)= e^{(p_1+p_2)t/2} \Bigl[ a \cosh ((p_2-p_1)t/2) + 2b(p_2-p_1)^{-1} \sinh ((p_2-p_1)t/2)\Bigr]. $$

Ну и переходите к пределу при $p_1+p_2 \to 2p$, $p_2-p_1\to 0$.


Более поучительным я считаю такой же анализ для $y''+\omega^2 y= \cos (\omega_0 t)$ когда решение имеет разный вид при $\omega =\omega_0$ и $\omega \ne\omega_0$ ($\omega >0$, $\omega_0>0$)

[Brukvalub]

А почему, когда есть два разных вещественных корня, нужно брать линейную комбинацию экспонент, а не, скажем, арктангенсов - это совсем понятно? Тогда объясните это мне, а то я "не догоняю"!

[Red_Herring]

provincialka, Brukvalub
Мне кажется, у ТС правильный вопрос. Ответ конечно возможен "подставим и проверим" и это строгий ответ, но на мой вкус он чересчур "алгебраичен"

[provincialka]

Red_Herring
согласна, и сейчас пытаюсь что-то на эту тему придумать. Может, получится...

[Brukvalub]

Множество решений образует двумерное векторное пространство, предъявим любой базис - и мы в дамках! В чем проблема?

[Red_Herring]

Brukvalub
Только хотелось бы чтобы базис зависел от коэффициентов непрерывно. Этакое эстетическое требование. И такой вывод IMHO дает лучшее понимание.

[Someone]

В случае, когда $p_1=p_2$, попробуйте сделать замену неизвестной функции по формуле $y=ue^{p_1t}$, где $u$ — новая неизвестная функция.

[provincialka]

Brukvalub в сообщении #952240 писал(а):

В чем проблема?

Видимо, в душевном спокойствии
Множитель $t$ перед экспонентой можно получить, если дифференцировать $e^{pt}$ по $p$. Может, это можно как-то использовать?

[Brukvalub]

Непрерывно зависел в какой метрике?

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #952246 писал(а):

Непрерывно зависел в какой метрике?

Скажем в $C$ на интервале. На самом деле достаточно наивного понимания, без всяких метрик (чувства).

У хорошего студента начинается разрыв шаблона: он знает, что решение непрерывно зависит … а мы ему даем общее решение которое это нарушает