Доказать, что сумма двух с.в. имеет плотность

[brat2]

Здравствуйте! Задали такую задачу - есть две независимые случайные величины, одна из них стандартная нормальная. Доказать, что их сумма имеет плотность распределения.
Что-то совсем нет идей( Нужно рассмотреть все варианты типов распределения второй с.в. или можно доказать сразу для всех типов?
Помогите пожалуйста разобраться

[ИСН]

Было недавно. На самом деле, неважно, что одна из величин нормальная - достаточно, чтобы она имела хоть какую-то плотность, тогда и сумма её имеет.

-- менее минуты назад --

Что-то никак не найду ту тему. Кто-нибудь помнит?

[brat2]

Вы имеете в виду не эту тему? Или была тема с точно таким же вопросом?
Я нашел для своей задачи в учебнике Черновой указания, как доказывать для дискретных и абс.непрерывных (правда, до конца еще не разобрался), но с сингулярными и смешанными не знаю как работать. Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

[ShMaxG]

brat2 в сообщении #952003 писал(а):

Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

Конечно, можно воспользоваться аппаратом характеристических функций. Вспомните два факта:

1. Чему равна характеристическая функция суммы независимых случайных величин;
2. Как связана интегрируемость характеристической функции с плотностью распределения случайной величины.

[brat2]

Спасибо. Тоже сначала думал в эту сторону, но быстро там застрял, т.к. не знаю, как считать полученный интеграл:
1) Она равна произведению их х.ф. 2) С.в. имеет плотность если модуль х.ф. интегрируем
Х.ф. ст.норм равна

$$e^{\frac{-t^2}{2}}$$

. Х.ф. второй как комплексную запишем как

$$re(t) + im(t)i$$

Тогда, чтобы сумма имела плотность, должен существовать интеграл

$$\int_{R}{e^\frac{-t^2}{2}\sqrt{im(t)^2+re(t)^2}dt}$$

Правильно ли я понял до этого? И если да, не подскажете, как считать такой интеграл или доказывать что он существует?

[brat2]

Простите, никто не отвечает п.ч. это слишком простой интеграл или у меня неверное рассуждение ещё до него?

[brat2]

Да, точно, произведение интегрируемой и ограниченной ведь!

[--mS--]

brat2 в сообщении #952003 писал(а):

Или есть способ доказательства, где не важен тип распределения второй с.в.?

Разумеется. Интеграл Лебега - Стилтьеса Вам знаком? Запишите формулу свертки для функции распределения суммы через две функции распределения, внутреннюю замените на интеграл от плотности и проделайте то же самое, что делается при получении формулы свёртки для плотностей.

[brat2]

--mS-- в сообщении #952362 писал(а):

Разумеется. Интеграл Лебега - Стилтьеса Вам знаком? Запишите формулу свертки для функции распределения суммы через две функции распределения, внутреннюю замените на интеграл от плотности и проделайте то же самое, что делается при получении формулы свёртки для плотностей.

Спасибо, но наверное не смогу так (интеграл не знаком и ф-лу свертки мы проходили только для случая, когда обе абс.непрерывны)
Думаю, учитель имел в виду всё же то более простое (технически) решение, которое я записал выше (модуль хар.функции суммы есть произведение интегрируемой и ограниченной функции, а значит интегрируем и сумма абс.непрерывна)

[--mS--]

Судя по тому, что вторая нормальна, а нормальным как раз и принято сглаживать распределения ото всех неприятностей, именно характеристические функции и имелись в виду, конечно.

[brat2]

Простите за поднятие темы , но учитель задал ещё доказать это свойство - если модуль х.ф. случайной величины интегрируем , то она имеет плотность.
В учебнике без доказательства, смотрел свойства преобразования Фурье, но мало понял к сожалению( Не подскажете, в какую сторону нужно здесь смотреть? (в матанализе много пробелов к сожалению)

[ShMaxG]

brat2
Смотрите в книге Ширяева "Вероятность" теорему 3 (формула обращения) на стр. 301. Доказательство нужного Вам факта находится на стр. 304 и опирается на теорему о мажорируемой сходимости, теорему Фубини и формулу обращения.

Если же мы знаем, что существует плотность $f(x)$ случайной величины, а х.ф. $\varphi(t)$ абсолютно интегрируема, то плотность вычисляется по известной формуле

$$f(x) = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty}{\exp{(-i x t)}\varphi(t) dt}.$$

Этот факт довольно известен в анализе. Кстати говоря, в книге Боровкова "Теория вероятностей" формула обращения как раз доказывается, опираясь на вышеприведенное выражение.