2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.

Если Вы хотите задать новый вопрос, то не дописывайте его в существующую тему, а создайте новую в корневом разделе "Помогите решить/разобраться (М)".

Если Вы зададите новый вопрос в существующей теме, то в случае нарушения оформления или других правил форума Ваше сообщение и все ответы на него могут быть удалены без предупреждения.

Не ищите на этом форуме халяву, правила запрещают участникам публиковать готовые решения стандартных учебных задач. Автор вопроса обязан привести свои попытки решения и указать конкретные затруднения.

Обязательно просмотрите тему Правила данного раздела, иначе Ваша тема может быть удалена или перемещена в Карантин, а Вы так и не узнаете, почему.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2, 3  След.
 
 Совместное распределение двух векторов
Сообщение11.12.2014, 22:23 


11/12/14
24
Доброго времени суток.
Видел на форуме подобную задачу, но, к сожалению, ответы из той темы мне не помогли.
Условие: каждый из двух независимых векторов равномерно распределён в круге единичного радиуса с центром в нуле. Найти плотность распределения суммы этих векторов.
Итак, нахождение константы в распределении проблем не вызвало
$$\begin{cases}
f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$;} \\
f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1$;}
\end{cases}$$
Далее, не имея возможности найти распределение двух векторов, что называется, в лоб, я решил действовать по такому алгоритму:

1)Найти отдельно распределение координат $x$ и $y$.
2)Исходя из того, что суммой векторов будет некий вектор $Z$, найти распределение $f(x+y)$, т. е. распределение координат $Z$ (благо, здесь мне помогает симметрия).
3)Найти совместное распределение $f(x*,y*)$, где $x*$ и $y*$ - координаты искомого вектора.

Первый пункт тоже не вызвал проблем. Из определения находим:

$f(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}, |x|=<1$

В силу симметрии для $y$ распределение будет аналогичным.
Сложности начались дальше. Я попытался воспользоваться формулой:

$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

И получил на выходе интеграл:

$\frac{4}{\pi^2}\int\limits_{-\infty}^{\infty} \sqrt{(1-t^2)(1-(t-x)^2)}dt$

И... либо я совершенно забыл начальный курс матанализа, либо этот путь ведёт нас в тупик, ибо ничего, даже смутно напоминающее ответ, отсюда я получить не смог.

Как вариант, я рассматривал переход к полярным координатам, но совершенно не знаю, как в них работать, т. к. практики не имел, а учебники на этот счёт молчат (подразумеваю работу с распределениями в полярных координатах).
Т. е. могу перевести в полярные координаты изначальные векторы, но, что делать дальше, даже не представляю.
Буду очень признателен за наводку.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение11.12.2014, 22:30 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Не надо было ничего этого делать и пользоваться формулой
Greg_st в сообщении #944548 писал(а):
$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

где уточняется, что она - для суммы независимых распределений. Ваши таковыми не являются.

Такие задачи лучше всего решать, находя сразу, по определению, функцию искомого распределения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение11.12.2014, 23:01 


11/12/14
24
Определение функции распределения вопросов не вызывает, но возникает другая проблема - переменные $x$ и $y$ зависят друг от друга, да ещё и по определенной формуле ($x^2+y^2<1$), т. е. простым построением для комбинаций случаев для $x$ и $y$ больше\меньше $\pm1$ тут не отстреляешься. Существуют ли определения, указывающие, как поступать в таких случаях? Может глупость скажу, но двойной интеграл от минус бесконечности до $x$ и $y$ брать пытался.
Не взялся, вернее, вышел бесконечным.
Возможно, я неверно понимаю границы интегрирования для данной задачи.

UPD:
$$\begin{cases}
f(x,y)=0,&\text{если $x<-1$ или $y<-1$;} \\
f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$ и $x\in[-1,1]$, и $y\in[-1,1]$;} \\
f(x,y)=0,&\text{если $x>1$ или $y>1$;}
\end{cases}$$

Если действовать "в лоб", плотность получилась такой. Получить из неё функцию пока не вышло.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение11.12.2014, 23:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Greg_st в сообщении #944576 писал(а):
Не взялся, вернее, вышел бесконечным.
Как это? Ведь плотность конечна и отлична от нуля только внутри круга. А приведите-ка свой интеграл.

Впрочем, можно обойтись сведениями из элементарной геометрии (площадь сегмента).

-- 11.12.2014, 23:17 --

Greg_st в сообщении #944576 писал(а):
$$\begin{cases}
f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1, x<-1, y<-1$;} \\
f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1, x\in[-1,1], y\in[-1,1]$;} \\
f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1, x>1, y>1$;}
\end{cases}$$
у вас там запятые между условиями. Они что означают, "или" или "и"?
А ведь сначала было правильно:
Greg_st в сообщении #944548 писал(а):
$$\begin{cases}
f(x,y)=1/\pi,&\text{если $x^2+y^2<1$;} \\
f(x,y)=0,&\text{если $x^2+y^2>1$;}
\end{cases}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение11.12.2014, 23:49 


11/12/14
24
Подправил прошлое сообщение.
Двойной интеграл я брал по определению, т. е. "навскидку" попытался получить конечное значение, беря интеграл от константы $1/\pi$. Ради чистоты совести.
Я не совсем понимаю, причем здесь площадь сегмента? Работа идёт ведь внутри целого круга, площадью (в нашем случае) $\pi$. Но это уже использовано для нахождения плотности.
В геометрическом смысле, что именно мы должны делать с сегментом? В случае интеграла по площади мы берём прямую от $-\sqrt{1-y^2}$ до $\sqrt{1-y^2}$ и "прогоняем" её по всем $x$. А что мы делаем с сегментом? Или мы должны взять некий малый (бесконечно малый?) сегмент и интегрировать его на $[0, 2\pi]$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 00:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Ну, чему равен интеграл от константы $\frac{1}{\pi}$ по некоей области?

И, с другой стороны, по какой области надо интегрировать, чтобы получить $F(x,y)$?

-- 12.12.2014, 00:06 --

Greg_st в сообщении #944604 писал(а):
Подправил прошлое сообщение.

И совершенно напрасно. Все равно неверно. Верно было в первом посте.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 00:34 


11/12/14
24
Интеграл от константы у нас равен разности верхней и нижней границы интегрирования, помноженному на константу, а в случае двойного интеграла - площади искомой области, помноженной на константу.
Нас интересует круг площадью $\pi R^2$ или $\pi$, если сразу учесть, что $R=1$.
Получается, что $F(x,y)=1$, а я выдумал себе проблему на ровном месте, пытаясь найти отличное от единицы значение? Собственно, в третьем посте я пытался записать распределение таким образом, чтобы получить функцию вида:
$$\begin{cases}
F(x,y)=0,&\text{если [$x$ или $y$ не входят в область и лежат на $-\infty$];} \\
F(x,y)=F(x,y),&\text{если $x$ и $y$ входят в область;} \\
F(x,y)=1,&\text{если [$x$ или $y$ не входят в область и лежат на $+\infty$];}
\end{cases}$$
Т. е. попытался верхом усесться на определение искомой функции.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 00:36 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Greg_st в сообщении #944630 писал(а):
Нас интересует круг площадью $\pi R^2$ или $\pi$, если сразу учесть, что $R=1$.
Разве? Меня так - не интересует. И я так и не увидела от вас определения функции распределения.
О! Вы считаете, то, что у вас записано, это $F$? Я только что заметила букву. О, нет! Определение на стол!

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 00:51 


11/12/14
24
Для системы случайных величин $(X,Y)$ функция распределения $F(x,y)$ есть вероятность совместного исполнения условий $(X<x)$ и $(Y<y)$. В нашем случае, как мне кажется, лучше исходить из геометрического смысла - вероятность точки $(X,Y)$ (вектора, в нашем случае) попасть в бесконечный квадрат, лежащий левее и ниже точки $(x,y)$. На всякий случай уточню, что в первом и третьем посте я написал плотность распределения, а в последнем - функцию распределения. Вернее, я указал, какого вида функцию ожидал получить из плотности распределения. В учебниках расписывают похожим способом, и, как я подумал, сработает традиционное "два способа - формальный и оптимизированный под задачу". Собственно, я пытался указать именно "формальный" способ.
Просто на всякий случай, дабы исключить недопонимание.

Насчет области - я именно не понимаю, как ужать вместе "бесконечный квадрат" и круг из задачи. Т. е. даже если нижний предел остаётся минус бесконечностью, я не могу понять, каким должен стать верхний предел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 00:52 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Greg_st
Greg_st в сообщении #944643 писал(а):
Для системы случайных величин $(X,Y)$ функция распределения $F(x,y)$

Она Вам не нада. Вам нужно распределение суммы. Вы его $Z$ обозначили. Кстати, это точно вектор?

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 01:10 


11/12/14
24
Но ведь речь идёт о сумме двух векторов. Разве в данной задаче Z может не быть вектором?
Цитата:
Она Вам не нада.

Простите, но тогда я совершенно запутался. Или Вы имеете в виду, что мне следует искать функцию распределения от $f(x)=\frac{2\sqrt{1-x^2}}{\pi}$, и через неё двигаться к искомому вектору?
UPD. Мысли начинают плыть, поэтому лучше поутру их соберу и ещё раз прогоню. Сейчас, чувствую, моё понимание происходящего будет только снижаться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 01:17 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Нет, это я запуталась. :mrgreen:
Давайте еще раз:
У Вас есть два независимых вектора (верно?), каждый из которых распределен в круге равномерно. Нужно найти плотность их суммы.
Не суммы компонент одного вектора?
Так?

(Я никак не могу соотнести это с тем, что Вас потом тянет смотреть на распределение координат и на их сумму. Что же реально нужно?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 01:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
11122
Казань
Ой! А я за разговорами про сумму-то и забыла! :facepalm:

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 01:30 


11/12/14
24
Требуется найти плотность распределения суммы двух независимых случайных векторов, именно в такой формулировке. А тянет к координатам меня от того, что я не нашел способа что-либо сделать с распределениями векторов (грубо говоря - есть формула, которая позволяет найти совместное распределение двух случайных величин, а вот подхода для совместного распределения двух систем случайных величин мне найти не удалось).
Я предположил, что, исходя из свойства суммы векторов, нам удастся найти распределение отдельно $x$ и $y$ координат искомого вектора, а после соотнести их. А координаты искомого вектора, в свою очередь, равны сумме координат изначальных векторов. Отсюда мое стремление выкопать себе яму поглубже найти распределение суммы координат. Благо, в нашем случае, можно найти распределение одной координаты искомого вектора и "отразить" его для второй координаты, что усилило мою уверенность в правильности подхода.
Впрочем, интеграл из первого поста эту уверенность изрядно охладил.
На этом мне всё-таки придется откланяться. Благодарю за помощь и надеюсь, что сможем завтра продолжить. Столько времени убил на эту задачу, что уже принципиально хочется не столько сдать, сколько понять, на что я собственно убил столько времени.

 Профиль  
                  
 
 Re: Совместное распределение двух векторов
Сообщение12.12.2014, 01:42 
Заслуженный участник


09/05/13
31/12/17
6368
Greg_st в сообщении #944669 писал(а):
Требуется найти плотность распределения суммы двух независимых случайных векторов, именно в такой формулировке. А тянет к координатам меня от того, что я не нашел способа что-либо сделать с распределениями векторов (грубо говоря - есть формула, которая позволяет найти совместное распределение двух случайных величин, а вот подхода для совместного распределения двух систем случайных величин мне найти не удалось).

Окей.
Тогда возвращаемся обратно. Вы меня настолько сбили с толку своим решением, что я за ним даже не увидела формулировки. :) Прошу извинить.
Итак, сначала.
Тогда формула
Greg_st в сообщении #944548 писал(а):
$$f(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty} f_1(t)f_2(x-t)dt$$

хорошая, поскольку предназначена именно для суммы независимых случайных величин. Но обратите внимание - величин. Одномерных. И одномерность области интегрирования это лишний раз подчеркивает.
А если формулу откорректировать, вот так:
$$f(x)=\int\limits_{\mathbb R^2}f_1(t)f_2(x-t)dt$$ где $f_i$ - это плотности каждого слагаемого, то $f$ будет искомой плотностью суммы.
В Вашем случае $f_i$ - каждая - распределена равномерно на круге радиуса один.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 33 ]  На страницу 1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group