Доказать, что число 1986^n-1 не делится на 1000^n-1

[timber]

Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.

Как думаете, с чего начать рассуждение? Может быть есть какие-то общеизвестные теоремы или нужно доказывать от противного?

Например, если предположить, что число $a$ делится на $b$, то тогда на $b$ должна делиться сумма и разность этих чисел.

Ну, допустим, так: $(1986^n-1)+(1000^n-1) = 1986^n+1000^n-2$. Или так: $(1986^n-1)-(1000^n-1) = 1986^n+1000^n$.

Но, что делать дальше, не пойму?

[ИСН]

Никаких теорем нет. Доказывать от противного нужно и не нужно. А начинать следует, как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.

[timber]

ИСН в сообщении #951791 писал(а):

как всегда в таких случаях, с рассмотрения по малым модулям.

Это как, например?

[ИСН]

Это, например, когда Вы рассматриваете своё равенство (или что там есть) по модулю какого-нибудь небольшого числа.

[grizzly]

timber в сообщении #951813 писал(а):

Это как, например?

Это, например, как $(2n+8)$ делится на 4. Может делиться без остатка, а может и с остатком. В зависимости от этого ответы у некоторых задач бывают разными.

[timber]

ИСН в сообщении #951815 писал(а):

Это, например, когда Вы рассматриваете своё равенство (или что там есть) по модулю какого-нибудь небольшого числа.

Правильно, понимаю, что Вы хотите сказать, что надо рассмотреть $1986^n \equiv1\pmod {2}$ и $1000^n \equiv1\pmod {2}$ и если нет, то нет - не делится?

[ИСН]

Если нет, то разные варианты могут быть. А в общем да, ищите где-то в этом круге идей.

[timber]

ИСН в сообщении #951825 писал(а):

Если нет, то разные варианты могут быть. А в общем да, ищите где-то в этом круге идей.

Спасибо! Поищу.

[nnosipov]

timber в сообщении #951782 писал(а):

Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.

Кажется, здесь с формулировкой что-то не так, уж слишком просто всё получается (не по модулю $2$ нужно посмотреть, а по модулю ... какому?). Предлагаю ТС заменить $1986$ на $1978$ (в таком виде задача встречается в задачниках), станет поинтересней.

[gris]

Конечно, привлечение модулей даёт перспективу, но в первоначальном виде задача действительно требует лишь четырёх "теорем" из пятого класса. А то человек умеет жонглировать сложными рассуждениями, а простыми, бытовыми знаниями не пользуется. Типа, что чётное число может делиться на нечётное, а нечётное на чётное никогда. А потом его в магазине обсчитывают.

[timber]

nnosipov в сообщении #951909 писал(а):

timber в сообщении #951782 писал(а):

Необходимо доказать, что для любого натурального $n\geqslant1$ число $1986^n-1$ не делится на число $1000^n-1$.

Кажется, здесь с формулировкой что-то не так, уж слишком просто всё получается (не по модулю $2$ нужно посмотреть, а по модулю ... какому?). Предлагаю ТС заменить $1986$ на $1978$ (в таком виде задача встречается в задачниках), станет поинтересней.

Ну и разве будет какая-то разница, если заменить 1986 на 1978. Способ доказательства и ответ разве поменяются? По-моему, нет.

-- 25.12.2014, 13:51 --



-- 25.12.2014, 13:55 --

gris в сообщении #951927 писал(а):

Конечно, привлечение модулей даёт перспективу, но в первоначальном виде задача действительно требует лишь четырёх "теорем" из пятого класса. А то человек умеет жонглировать сложными рассуждениями, а простыми, бытовыми знаниями не пользуется. Типа, что чётное число может делиться на нечётное, а нечётное на чётное никогда. А потом его в магазине обсчитывают.

Не понимаю Ваш комментарий. Но, по условиям задачи видно, что оба числа нечетные. Нечетное на нечетное вполне может делиться. А нужно доказать, что нет.

[ИСН]

timber в сообщении #952017 писал(а):

Ну и разве будет какая-то разница, если заменить 1986 на 1978. Способ доказательства и ответ разве поменяются? По-моему, нет.

Если Ваш способ доказательства состоит в словах "а хрен его знает" - тогда, конечно, он не поменяется.
А если в чём-то другом, так приведите же его, наконец.

-- менее минуты назад --

timber в сообщении #952017 писал(а):

Нечетное на нечетное вполне может делиться. А нужно доказать, что нет.

Есть другие малые числа.

[nnosipov]

timber в сообщении #952017 писал(а):

По-моему, нет.

Ответ не изменится, а методы решения будут уже другие.

[timber]

ИСН в сообщении #952021 писал(а):

Если Ваш способ доказательства состоит в словах "а хрен его знает"

Это Вы к чему?

Зачем мне обращаться на форум, если я знаю как это доказать?

[ИСН]

Это Вы правильно делаете, что обращаетесь на форум. Но к чему высказывать суждения о возможном способе доказательства и в частности - о том, поменяется ли он от каких-то изменений в условиях, если у Вас пока нет никакого способа?