Производная в точке, где функция не определена.

[Andrei94]

Найдите $f(0), f'(0), f''(0)$ для функции:

$f(x)=\ln\left(\dfrac{e^{\sin(x)}-\sqrt{1+2x^2}}{\tg x}\right)$

Раскладывая числитель и знаменатель дроби в ряд Маклорена, получим:

$f(x)=\ln\left(\dfrac{x-\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+O(x^5)}{x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+O(x^6)}\right)=\ln\left((x-\frac{x^2}{2}+\frac{3x^4}{8}+O(x^5))(x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+O(x^6))^{-1}\right)=$

$=\ln\left((1-\frac{x}{2}+\frac{3x^3}{8}+O(x^4))(1+\frac{x^2}{3}+\frac{2x^4}{15}+O(x^5))^{-1}\right)=$

$=\ln\left((1-\frac{x}{2}+\frac{3x^3}{8}+O(x^4))(1-\dfrac{x^2}{3}-\dfrac{x^4}{45}+O(x^6))\right)=$

$=\ln\left(1-\dfrac{x}{2}-\dfrac{x^2}{3}+O(x^4)\right)=-\dfrac{x}{2}-\dfrac{11x^2}{24}+O(x^3)$

Тогда, используя формулу маклорена "задом наперед":

$-\dfrac{x}{2}-\dfrac{11x^2}{24}+O(x^3)=f(0)+f'(0)x+0,5f''(0)x^2+O(x^3)$

Получаем $f(0)=0, f'(0)=-0,5, f''(0)=-\dfrac{11}{12}$

Вопрос в том, корректно ли так делать, верна ли идея вычисления?

Ничего ли страшного в том, что функция в нуле не определена, или мы ее мысленно можем доопределить, вычислив предел, который получается равный нулю, тогда $f(0)=0$?

[ИСН]

Мы можем её мысленно определить, и делаем это с такой скоростью и автоматизмом, что забываем об этом упомянуть явно. Это - нормально, так все делают.
Идея норм, арифметику не проверял.

[boriska]

Нужно по формуле маклорена сначала выписыватьфу сначала внешние функции, а потом внутренние

[Andrei94]

ИСН в сообщении #951593 писал(а):

Мы можем её мысленно определить, и делаем это с такой скоростью и автоматизмом, что забываем об этом упомянуть явно. Это - нормально, так все делают.
Идея норм, арифметику не проверял.

Спасибо!

-- 24.12.2014, 22:52 --

boriska в сообщении #951714 писал(а):

Нужно по формуле маклорена сначала выписыватьфу сначала внешние функции, а потом внутренние

А почему нельзя так?

[provincialka]

Andrei94 в сообщении #951751 писал(а):

А почему нельзя так?

Можно. Если правильно учитывать о-малые.

[Andrei94]

provincialka в сообщении #951761 писал(а):

Andrei94 в сообщении #951751 писал(а):

А почему нельзя так?

Можно. Если правильно учитывать о-малые.

А как понять -- правильно ли используются о-малые или нет? На примере $e^{\sin x}$ есть различия?

[provincialka]

Ой, многабукафф.. Вы, вроде, правильно используете.
Суть в том, что равенства с о-малым, это именно равенства, в отличие от $f\sim g$.

[Andrei94]

Спасибо, понятно