Рассеяние на комплексном потенциале

[BasilKrzh]

Здравствуйте!
Я решаю задачу: Найти сечение рассеяния на потенциале $V(r)=-iU_0$ при $r<a$, $V(r)=0$ при $r>a$ в случае медленных частиц и большой величины $U_0$. Для того, чтобы найти сечению, мне необходимо вычислить фазу рассеяния, для начала, для s-волны. Для этого я решаю радиальное УШ, провожу сшивку и смотрю асимптотику решения на бесконечности, которая имеет вид $ \frac{C}{r} \sin(kr + \delta_0)$, где $\delta_0$-фаза рассеяния на s волне, $k=\sqrt{\frac{2 m E}{\hbar^2}}$. Тогда я получаю уравнение $\tg(ak+\delta_0)=\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon+i}}\tg(\frac{\varepsilon+i}{\varepsilon}ka)$, где $\varepsilon = \frac{E}{U_0}$ (аналогичное уравнение получено в задачнике Галицкий, Карнаков,Коган, 1981, задача 13.24 для действительного потенциала). Для того, чтобы посчитать сечение поглощения и рассеяния, мне нужно выразить мнимую и действительную часть $\delta_0$, учитывая, что по условию $\varepsilon << 1, ka<<1$, т.е. как-то корректно разложить в ряд по этим параметрам. Мне не понятно, как это сделать...
Возможно я что-то делаю совсем не так, ведь если у меня такие сложности с s-волной, то как же я буду решать для произвольного l... Может быть кто знает задачник, где разобрана похожая задача, тогда, пожалуйста, подскажите, куда смотреть

[Taus]

BasilKrzh, решать уравнение Шрёдингера с не самосопряжённым оператором гамильтона $H$ довольно странно. Ведь такая потенциальная энергия $V(r)$ не отвечает ни одному реальному потенциалу.

[BasilKrzh]

Как я понимаю, это соответствует процессам поглощения/излучения, вполне гуглятся некоторые задачи/статьи c такими потенциалами в задачах рассеяния

[BasilKrzh]

Taus в сообщении #951684 писал(а):

BasilKrzh, решать уравнение Шрёдингера с не самосопряжённым оператором гамильтона $H$ довольно странно. Ведь такая потенциальная энергия $V(r)$ не отвечает ни одному реальному потенциалу.

Taus в сообщении #951684 писал(а):

BasilKrzh, решать уравнение Шрёдингера с не самосопряжённым оператором гамильтона $H$ довольно странно. Ведь такая потенциальная энергия $V(r)$ не отвечает ни одному реальному потенциалу.

Ну и легко получить, что нормировка волновой функции в таком потенциале будет экспоненциально спадать.

А на счёт задачи, я сам разобрался. В случае $\delta_0 = \arctan(\sqrt{\frac{\varepsilon}{\varepsilon+i}}\tg(\frac{\varepsilon+i}{\varepsilon}ka)) - ka $ в силу того, что $ka << 1$ и коэффициент $\frac{\varepsilon+i}{\varepsilon}$ комплексный, то резонансный случай не наступает никогда и всегда можно разложить в ряд (до второго члена, т.е. до $(ka)^3$), получим $\delta_0 =i \frac{k^3 a^3}{3\varepsilon} $
Аналогичная задача разобрана задачнике Галицкий, Карнаков,Коган, 1981, задача 13.54 (там только используется первое Борновское приближение, которое здесь формально не применимо, но ответ такой же). Рассеяние волн с $l >0 $ не вносит существенных поправок, поэтому, как я понимаю, их можно игнорировать