Неизвестная кривая?

[kavict]

Представьте себе каплю ртути, сжатую в стеклянном кубе. При этом на всех шести гранях куба появятся одинаковые пятна контакта ртути со стенками. Эти пятна, при достаточной степени сжатия, примут вид квадратов со скругленными углами, примерно вот такой:

$$ \begin{picture}(100,100) \put(14,93){\line(1,0){82}} \put(14,11){\line(0,1){82}} \put(14,11){\line(1,0){82}} \put(96,11){\line(0,1){82}} \put(20,60){\line(1,1){28}} \put(20,40){\line(1,1){48}} \put(26,24){\line(1,1){57}} \put(42,17){\line(1,1){48}} \put(65,17){\line(1,1){25}} \put(0,55){\line(1,0){30}} \put(0,55){\vector(1,0){13}} \put(30,55){\vector(-1,0){8}} \put(2,58){r} \thicklines \put(55,52){\oval(70,70)} \end{picture} $$

Эти скругления углов и образуют ту самую кривую, о которой пойдет речь. Изобразим одну из них (верхнюю правую) крупно и проведем оси $X$ и $Y$, как показано на следующем рисунке:

$$ \begin{picture}(200,200) \thicklines \put(0,180){\line(1,0){50}} \put(160,40){\line(0,1){30}} \qbezier(50,180)(160,180)(160,70) \thinlines \put(160,70){\line(0,1){130}} \put(50,180){\vector(1,0){150}} \put(50,180){\vector(0,-1){80}} \put(50,180){\circle*{3}} \put(160,70){\circle*{3}} \put(160,180){\circle*{3}} \put(135,150){\circle*{3}} \put(48,184){A} \put(123,143){B} \put(148,66){C} \put(150,184){D} \put(192,185){X} \put(36,100){Y} \end{picture} $$

Эта кривая делится точкой $B$ на две симметричные части.

Приближенное выражение участка $AB$ в выбранной системе координат имеет вот такой громоздкий вид:

$$ y=r\left(0.0321\left(\frac x r\right)^3-0.0145\left(\frac x r\right)^4\\ +0.0049\left(\frac x r\right)^5+0.0008\left(\frac x r\right)^6\right), $$

где $r$ - радиус кривизны свободной поверхности ртути на цилиндрических участках (под серединами ребер куба). Этот радиус $r$ можно выразить через среднюю кривизну $H$ свободной поверхности жидкости:

$$r=\frac 1{2H}$$

Понятно, что в данном случае ртуть взята просто для примера. На самом деле все это справедливо для любой жидкости, не смачивающей стенки контейнера, в котором она сжата. Поэтому форма пятен контакта, как и форма свободной поверхности, не зависит от вида жидкости.

Возможно, эта кривая и не заслуживала особого внимания, если бы не одно ее свойство. Оказалось (и это можно строго доказать), что площадь, ограниченная этой кривой, и продолжениями прямолинейных сторон пятна контакта (треугольник $ABCD$ на последнем рисунке) равна:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2=\frac\pi{16H^2}$$

Учитывая это, можно предположить, что данная кривая относится к какому-то особому классу, может быть еще неизвестному.

Ваше мнение?

[levtsn]

а не сплайн ли это?

[arseniiv]

Есть ли очевидное доказательство того, что у кривой есть те параллельные рёбрам куба прямолинейные участки?

[Aritaborian]

kavict в сообщении #946913 писал(а):

Оказалось (и это можно строго доказать), что площадь, ограниченная этой кривой, и продолжениями прямолинейных сторон пятна контакта (треугольник $ABCD$ на последнем рисунке) равна:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2=\frac\pi{16H^2}$$

Раз уж это можно строго доказать, гоните доказательство.

levtsn в сообщении #946984 писал(а):

а не сплайн ли это?

arseniiv в сообщении #947309 писал(а):

Есть ли очевидное доказательство того, что у кривой есть те параллельные рёбрам куба прямолинейные участки?

Тогда получается, что сплайн. Шестой степени, такие сплайны на практике не используются, конечно.

[Pphantom]

arseniiv в сообщении #947309 писал(а):

Есть ли очевидное доказательство того, что у кривой есть те параллельные рёбрам куба прямолинейные участки?

На расстояниях от углов, существенно превышающих радиус сферы молекулярного действия, все точки ребра оказываются совершенно одинаковыми, так что расстояние от них до границы жидкости должно быть одинаковым.

[kavict]

arseniiv в сообщении #947309 писал(а):

Есть ли очевидное доказательство того, что у кривой есть те параллельные рёбрам куба прямолинейные участки?

Прямолинейные участки не относятся к кривой, она только плавно примыкает к ним. Наличие прямолинейных участков контура пятна контакта заложено в условиях - рассматривается только такое сжатие капли, при котором под всеми ребрами куба имеются цилиндрические участки свободной поверхности. А если есть цилиндрический участок - есть и прямая на контуре пятна контакта.

-- 20.12.2014, 16:57 --

Aritaborian в сообщении #947326 писал(а):

kavict в сообщении #946913 писал(а):

Оказалось (и это можно строго доказать), что площадь, ограниченная этой кривой, и продолжениями прямолинейных сторон пятна контакта (треугольник $ABCD$ на последнем рисунке) равна:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2=\frac\pi{16H^2}$$

Раз уж это можно строго доказать, гоните доказательство.

Доказательство проводится путем рассмотрения процесса сжатия капли в контейнере квадратного сечения.
Для этого необходим рисунок, который довольно сложно воспроизвести средствами псевдографики LaTeXа,
поэтому желающим разобраться, посоветую заглянуть на стр.19 книги (на нее можно выйти в Интернете по
запросу "система сжатых капель"). Здесь же используем упрощенный вариант этого рисунка.

Итак, рассмотрим сжатие капли жидкости в контейнере квадратного сечения со стороной $a$. Примем, что
сжатие капли осуществляется перемещением одной из стенок контейнера, выполненной в виде поршня, к которой приложена сила $F$. Рассечем каплю посередине плоскостью, перпендикулярной оси контейнера, и отбросим правую часть, как показано на рисунке:

$$ \begin{picture}(100,100) \put(-30,93){\line(1,0){100}} \put(14,11){\line(0,1){82}} \put(-30,11){\line(1,0){100}} \put(29,11){\line(0,1){82}} \put(70,0){\line(0,1){110}} \put(-10,52){\vector(1,0){150}} \put(-25,52){\vector(0,1){41}} \put(-25,52){\vector(0,-1){41}} \put(70,93){\vector(1,0){30}} \put(70,11){\vector(1,0){30}} \put(85,11){\line(0,1){82}} \put(85,91){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,73){\vector(-1,0){15}} \put(85,63){\vector(-1,0){15}} \put(85,53){\vector(-1,0){15}} \put(85,43){\vector(-1,0){15}} \put(85,33){\vector(-1,0){15}} \put(85,23){\vector(-1,0){15}} \put(85,13){\vector(-1,0){15}} \put(49,32){\vector(-1,-1){15}} \put(-23,50){a} \put(-6,56){F} \put(38,28){r} \put(92,98){f} \put(92,0){f} \put(88,65){p} \put(130,55){X} \put(30,105){\line(1,-1){18}} \put(0,105){капля} \put(70,100){\line(1,1){18}} \put(90,118){секущая плоскость} \thicklines \put(70,52){\oval(82,82)[l]} \put(-10,52){\vector(1,0){25}} \end{picture} $$

К месту рассечения капли приложим силовые факторы, заменяющие действие отброшенной части:
- по контуру сечения действуют силы поверхностного натяжения $f$;
- на площадь сечения действует давление $p$ жидкости.

Напишем уравнение равновесия сил, действующих на рассматриваемую половину капли, в проекции
на ось $X$:

$$F+fL-pS_{сеч}=0\eqno(1)$$

где: $L$ - длина контура сечения капли;
$S_{сеч}$ - площадь сечения капли.

Выразим величины $L$ и $S_{сеч}$ помня, что сечение капли представляет собой квадрат со стороной $a$
и скругленными радиусом $r$ углами:

$$L=4(a-2r)+2\pi\\ r=4a-8r+2\pi r\eqno(2)$$

$$S_{сеч}=a^2-4r^2+\pi r^2\eqno(3)$$

Давление $p$ внутри капли поддерживается силой $F$, которая приложена к пятну контакта капли с подвижной
стенкой:

$$ \begin{picture}(100,100) \put(0,105){Вид со стороны силы F} \put(20,87){\line(1,0){70}} \put(20,17){\line(0,1){70}} \put(20,17){\line(1,0){70}} \put(90,17){\line(0,1){70}} \put(14,93){\line(1,0){82}} \put(14,-5){\line(0,1){98}} \put(14,11){\line(1,0){82}} \put(96,-5){\line(0,1){98}} \put(0,55){\line(1,0){30}} \put(0,55){\vector(1,0){13}} \put(30,55){\vector(-1,0){8}} \put(2,58){r} \put(54,-2){\vector(1,0){41}} \put(56,-2){\vector(-1,0){41}} \put(52,0){a} \put(87,82){\line(2,1){26}} \put(117,94){искомая площадь} \put(80,50){\line(2,-1){30}} \put(112,32){площадь пятна контакта} \thicklines \put(55,52){\oval(70,70)} \end{picture} $$

Выразим площадь $S_c$ этого пятна контакта через искомую площадь $S_{ABCD}$:

$$S_c=(a-2r)^2-4S_{ABCD}=a^2-4ar+4r^2-4S_{ABCD}\eqno(4)$$

Тогда сила $F$ будет равна:

$$F=pS_c=p(a^2-4ar+4r^2-4S_{ABCD})\eqno(5)$$

Подставив в (1) выражения (2),(3) и (5), получим:

$$p(a^2-4ar+4r^2-4S_{ABCD})+f(4a-8r+2\pi r)-p(a^2-4r^2+\pi r^2)=0$$

Далее разделим все на $p$, заменим $\frac f p$ на $r$, раскроем скобки и приведем подобные. У нас останется

$$-4S_{ABCD}+\pi r^2=0$$

Откуда получим:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$$

[Skeptic]

kavict в сообщении #949924 писал(а):

$$ \begin{picture}(100,100) \put(-30,93){\line(1,0){100}} \put(14,11){\line(0,1){82}} \put(-30,11){\line(1,0){100}} \put(29,11){\line(0,1){82}} \put(70,0){\line(0,1){110}} \put(-10,52){\vector(1,0){150}} \put(-25,52){\vector(0,1){41}} \put(-25,52){\vector(0,-1){41}} \put(70,93){\vector(1,0){30}} \put(70,11){\vector(1,0){30}} \put(85,11){\line(0,1){82}} \put(85,91){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,83){\vector(-1,0){15}} \put(85,73){\vector(-1,0){15}} \put(85,63){\vector(-1,0){15}} \put(85,53){\vector(-1,0){15}} \put(85,43){\vector(-1,0){15}} \put(85,33){\vector(-1,0){15}} \put(85,23){\vector(-1,0){15}} \put(85,13){\vector(-1,0){15}} \put(49,32){\vector(-1,-1){15}} \put(-23,50){a} \put(-6,56){F} \put(38,28){r} \put(92,98){f} \put(92,0){f} \put(88,65){p} \put(130,55){X} \put(30,105){\line(1,-1){18}} \put(0,105){капля} \put(70,100){\line(1,1){18}} \put(90,118){секущая плоскость} \thicklines \put(70,52){\oval(82,82)[l]} \put(-10,52){\vector(1,0){25}} \end{picture} $$

$$ \begin{picture}(100,100) \put(0,105){Вид со стороны силы F} \put(20,87){\line(1,0){70}} \put(20,17){\line(0,1){70}} \put(20,17){\line(1,0){70}} \put(90,17){\line(0,1){70}} \put(14,93){\line(1,0){82}} \put(14,-5){\line(0,1){98}} \put(14,11){\line(1,0){82}} \put(96,-5){\line(0,1){98}} \put(0,55){\line(1,0){30}} \put(0,55){\vector(1,0){13}} \put(30,55){\vector(-1,0){8}} \put(2,58){r} \put(54,-2){\vector(1,0){41}} \put(56,-2){\vector(-1,0){41}} \put(52,0){a} \put(87,82){\line(2,1){26}} \put(117,94){искомая площадь} \put(80,50){\line(2,-1){30}} \put(112,32){площадь пятна контакта} \thicklines \put(55,52){\oval(70,70)} \end{picture} $$

Откуда получим:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$$

На первом рисунке $r$ - радиус скругления в углах, а на втором рисунке $r$ - радиус скругления у стенки. Эти скругления между собой не равны. Какое значение $r$ используется в конечной формуле?

-- 21.12.2014, 11:09 --

При сжатии капли пятно контакта сначала имеет вид окружности. После достижения стенки пятно контакта изменит форму на форму прямоугльника со скруглёнными углами.
Если пренебречь площадью между пятном контакта и стенками, то свободная от пятна контакта площадь будет равна разности площади квадрата с стороной $2r$ и площадью круга радиусом $r$, т.е.

$$S=(4-\pi)r^2$$

.

[levtsn]

я сомневаюсь что при приближении к грани ртуть так просто коснется её

[xinef]

Может быть мой вопрос покажется глупым, но не могли бы Вы пояснить, что такое r? Складывается такое ощущение , что это толщина стенок сосуда?

[kavict]

Skeptic в сообщении #950252 писал(а):

На первом рисунке $r$ - радиус скругления в углах, а на втором рисунке $r$ - радиус скругления у стенки. Эти скругления между собой не равны. Какое значение $r$ используется в конечной формуле?

И на первом, и на втором рисунке имеется в виду один и тот же радиус $r$ - радиус кривизны цилиндрического участка свободной поверхности жидкости под ребрами куба. Непонятность возникла из-за того, что на первом рисунке, где показан вид половины капли сбоку, радиус скругления изображен чрезмерно большим из-за особенностей псевдографики LaTeXа (там все такие фигуры со скругленными углами изображаются с таким большим радиусом, и его нельзя уменьшить). На самом деле, на первом рисунке радиусы скруглений должны быть такими же маленькими, как и размер $r$ на втором рисунке.

На втором же рисунке скругления углов квадрата изображают те самые кривые, о которых идет речь в этой теме, и они изображены так, как и задумывалось.

Таким образом, в конечной формуле, как и везде, величина $r$ обозначает радиус кривизны цилиндрических участков свободной поверхности жидкости под серединами ребер куба.

Skeptic в сообщении #950252 писал(а):

При сжатии капли пятно контакта сначала имеет вид окружности. После достижения стенки пятно контакта изменит форму на форму прямоугльника со скруглёнными углами.
Если пренебречь площадью между пятном контакта и стенками, то свободная от пятна контакта площадь будет равна разности площади квадрата с стороной $2r$ и площадью круга радиусом $r$, т.е.

$$S=(4-\pi)r^2$$

.

Извините, но здесь что-то совсем не то.

Будем рассматривать сжатие капли в контейнере квадратного сечения, со стороной, равной диаметру недеформированной капли, которая сначала имеет форму сферы. Подведем подвижную стенку-поршень к капле. Эта сферическая капля окажется в кубическом пространстве и будет только касаться всех шести стенок. В этом случае вместо пятен контакта будут только точки касания. Затем приложим к поршню силу и начнем сжатие. При перемещении поршня точки касания начнут расширяться в пятна контакта(при этом пространство уже не будет кубом, а боковые грани станут не квадратами, а прямоугольниками). Сначала пятна контакта будут очерчены кривыми, на которых не будет прямолинейных участков, но это не будут и окружности. На свободной поверхности жидкости еще не будет цилиндрических участков, а вся форма свободной поверхности будет все время меняться по мере движения поршня.

Затем наступит момент, когда под самыми длинными ребрами сжимающего параллелепипеда образуются цилиндрические участки свободной поверхности. Сначала эти участки будут нулевой длины, но по мере сжатия капли их длина будет увеличиваться, а радиус уменьшаться. Остальная часть свободной поверхности будет продолжать менять форму. Наконец, сжатие капли достигнет момента, когда цилиндрические участки образуются и под короткими ребрами параллелепипеда. С этого момента свободная поверхность будет состоять только из цилиндрических участков и участков под трехгранными углами контейнера. Теперь форма этих участков уже на будет меняться, как бы сильно ни сжимали каплю. Это значит, что цилиндрические участки будут оставаться таковыми, но только увеличивая длину и уменьшая радиус $r$, а угловые участки будут уменьшаться в размерах, оставаясь все время подобными, т.е. не меняя формы. Только с этого момента пятна контакта будут очерчены прямыми, соединенными скругляющими кривыми, которые мы рассматриваем.

-- 22.12.2014, 19:14 --

levtsn в сообщении #950261 писал(а):

я сомневаюсь что при приближении к грани ртуть так просто коснется её

Повторюсь - ртуть здесь принята только для наглядности. На самом деле здесь рассматривается некая абстрактная жидкость, не обладающая смачиванием и никак не взаимодействующая со стенками, кроме непосредственного контакта.

-- 22.12.2014, 19:16 --

xinef в сообщении #950271 писал(а):

Может быть мой вопрос покажется глупым, но не могли бы Вы пояснить, что такое r? Складывается такое ощущение , что это толщина стенок сосуда?

Вас ввел в заблуждение второй рисунок в доказательстве. Здесь наружный квадрат - это внутренняя поверхность контейнера. Если сдвинуть сечение вглубь капли, то увидим, что жидкость касается этих поверхностей. Внутренний квадрат нарисован для того, чтобы пояснить, как вычисляется площадь пятна контакта.

[Skeptic]

Задана простая геометрическая задача. Найти разность площадей двух квадратов (прямоугольников). Даже не решая эту задачу, ясно, что эта разность будет зависеть от всех линейных размеров квадратов (прямоугольников). В ответе используется только один размер - разность в длине сторон квадратов (прямоугольников). А где сами длины сторон квадрата (прямоугольника)?

[kavict]

Skeptic в сообщении #951180 писал(а):

Задана простая геометрическая задача. Найти разность площадей двух квадратов (прямоугольников). Даже не решая эту задачу, ясно, что эта разность будет зависеть от всех линейных размеров квадратов (прямоугольников). В ответе используется только один размер - разность в длине сторон квадратов (прямоугольников). А где сами длины сторон квадрата (прямоугольника)?

Согласен, чтобы найти разность площадей двух квадратов (прямоугольников), нужно знать их размеры. Только непонятно, о какой разности площадей идет речь? Сошлитесь, пожалуйста, на место в доказательстве, которое Вы подвергаете сомнению.

[levtsn]

А мне кажется не будет там цилиндрических поверхностей, только приближение кним

[Skeptic]

kavict в сообщении #949924 писал(а):

$$ \begin{picture}(100,100) \put(0,105){Вид со стороны силы F} \put(20,87){\line(1,0){70}} \put(20,17){\line(0,1){70}} \put(20,17){\line(1,0){70}} \put(90,17){\line(0,1){70}} \color{red} \put(72,69){\line(1,0){18}} \put(72,69){\line(0,1){18}} \put(72,87){\line(1,0){18}} \put(90,69){\line(0,1){18}} \color{black} \put(14,93){\line(1,0){82}} \put(14,-5){\line(0,1){98}} \put(14,11){\line(1,0){82}} \put(96,-5){\line(0,1){98}} \put(0,55){\line(1,0){30}} \put(0,55){\vector(1,0){13}} \put(30,55){\vector(-1,0){8}} \put(2,58){r} \put(54,-2){\vector(1,0){41}} \put(56,-2){\vector(-1,0){41}} \put(52,0){a} \put(87,82){\line(2,1){26}} \put(117,94){искомая площадь} \put(80,50){\line(2,-1){30}} \put(112,32){площадь пятна контакта} \thicklines \put(55,52){\oval(70,70)} \end{picture} $$

Откуда получим:

$$S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$$

Построим на закруглении квадрат (красный). Сторона квадрата и радиус закругления равны $r$. Искомая площадь - разность между площадью квадрата и площадью четверти круга $r^2-\frac\pi 4 r^2$. У вас эта площадь $S_{ABCD}=\frac\pi 4 r^2$.

[hurtsy]

kavict в сообщении #946913 писал(а):

Учитывая это, можно предположить, что данная кривая относится к какому-то особому классу, может быть еще неизвестному.

Предполагайте и даже располагайте, как вам удобно. Насчет неизвестности, есть сомнения. Но вы можете считать клас неизвестным, если он вам неизвестен. Надеюсь множество так определенных классов будет непустым. А если вам нужна дискуссия, то обратитесь к модератору. Если вы заметили, у физиков тоже имеются дискуссионные темы. С уважением.