Циклические группы

[Danmir]

Доброго времени суток. Можете помочь с задачей. Пусть $G=\left< a \right> $ − циклическая группа порядка 18. Записать таблицу Кэли ее групповой операции. Найти для $G все подгруппы, нарисовать диаграмму решетки подгрупп.
Как я понимаю группа будет выглядеть так $G=\left\{ a,{ a }^{ 1 },{ a }^{ 2 },...,{ a }^{ 17 } \right\} $. Так как у нас есть только порождающий элемент $a и мы берем его степени. Теперь таблица Кэли. Вот тут я не понимаю - какая у нас групповая операция ? Ведь просто один элемент переходит в другой и так в цикле.

[Deggial]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Причина переноса: не приведены попытки решения, формулы не оформлены $\TeX$ом

Danmir
Приведите попытки решения, укажите конкретные затруднения.
См. также тему Что такое карантин, и что нужно делать, чтобы там оказаться.
После исправлений сообщите в теме Сообщение в карантине исправлено, и тогда тема будет возвращена.

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Возвращено

Danmir в сообщении #951460 писал(а):

Как я понимаю группа будет выглядеть так $\left\{ a, { a }^{ 1 }, { a }^{ 2 }, ... , { a }^{ 17 } \right\} $.

Нет, не так.

Danmir в сообщении #951460 писал(а):

Вот тут я не понимаю - какая у нас групповая операция ?

Обычное умножение. Теперь стройте таблицу Кэли, только выпишите все элементы группы. Что такое таблица Кэли, знаете?

Danmir в сообщении #951460 писал(а):

Ведь просто один элемент переходит в другой и так в цикле.

Для элементов предикат "переходность" не определён. Сформулируйте внятно.

[ИСН]

Один элемент никуда не переходит. Два переходят.

[мат-ламер]

Danmir в сообщении #951460 писал(а):

Записать таблицу Кэли

Что означает словосочетание "записать таблицу"?

[Sonic86]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #951512 писал(а):

Что означает словосочетание "записать таблицу"?

нарисовать/изобразить/выписать/заполнить/построить таблицу Кэли. Нет?

Пусть $T=\{t_1,...,t_k\}$ - множество всех терминов, применимых к объекту $A$. Пусть $W=\{w_1,...,w_n\}$ - множество всех слов естественного языка, для которых синтаксически корректно словосочетание $w_j A$. Тогда для минимизации непонимания клиента следует задать всюду определенное и сюръективное отображение $g:W\to T$, и под $w_j A$ понимать $f(w_j) A$.
Упражнение 1: Докажите, что в случае $k=1$ отображение единственно и выпишите его явно.
Упражнение 2: Докажите, что при наличии единственного термина "построить", применимого к терму "таблица Кэли", фразу "удалите таблицу Кэли" следует понимать как "постройте таблицу Кэли".

[Danmir]

Deggial
Так, понял, что забыл нейтральный элемент ${ a }^{ 0 }=1$. И раз порядок равен 18, то имеем ${ a }^{ 18 }=1$. Группа, получается, выглядит так $G=\left\{ 1,{ a }^{ 1 },{ a }^{ 2 },{ a }^{ 3 },...,{ a }^{ 17 } \right\}$ Вот выписываю я таблицу Кэли: в строчку у меня идут $1,{ a }^{ 1 },{ a }^{ 2 },{ a }^{ 3 },...,{ a }^{ 17 }$ и в столбик $1,{ a }^{ 1 },{ a }^{ 2 },{ a }^{ 3 },...,{ a }^{ 17 }$ я их перемножаю и записываю результаты, но что записать, когда, допустим, будет ${ a }^{ 16 }\circ { a }^{ 16 }$ нужно же снова попасть в группу.

[ИСН]

Прочитайте где-нибудь, что такое циклические группы и какая в них операция.

-- менее минуты назад --

А нет, не надо: Вы это уже знаете!

Danmir в сообщении #951527 писал(а):

И раз порядок равен 18, то имеем $a^{18}=1$.

Имеем? Да? Эти буквы что-то означают? Ну так используйте их!

[Danmir]

ИСН
Получается ${ a }^{ 16 }\circ { a }^{ 16 }={ a }^{ 4 }$ ?

[ИСН]

Примерно так, только наоборот. Вы как получили 4?

[Danmir]

ИСН
Ага, тоесть $(16+16)\mod 18 =14$

[ИСН]

Отож!

[Aritaborian]

Да, так уже лучше ;-)

[Danmir]

ИСН
А как теперь записать все подгруппы группы $G$. Знаю только, что каждая подгруппа циклической группы циклична. И, например, просто для группы $G=\left\{ a,b,c \right\} $ выписывал бы $\left< a \right> =\left\{ ... \right\}$, $\left< b \right> =\left\{ ... \right\} $, $\left< c \right> =\left\{ ... \right\} $, потом объединял бы их как ${ S }_{ 1 }\cup { S }_{ 2 }=\left< { S }_{ 1 }\cup { S }_{ 2 } \right>$ и строил так решетку.

[ИСН]

Я не помню, что такое решётка подгрупп. Но Вы правы, конечно, что все подгруппы - тоже циклические. А каких же порядков они могут быть?

[Aritaborian]

Взглянем на число 18...