Длина волны, частота и фазовая скорость в разных средах

[Anton_Peplov]

Рассмотрим одномерную волну $\varphi(x, t)$, распространяющуюся вдоль оси координат согласно уравнению
\begin{eqution} \varphi(x, t) = A \sin (\frac{\omega}{v}x - \omega t) \end{equation}
Легко видеть, что:
a) для любого промежутка времени $\Delta t$ выполняется $\varphi(x + v \Delta t, t + \Delta t) = \varphi(x, t)$, т.е. значение $\varphi$ распространяется вдоль оси со скоростью $v$. Ее называют поэтому фазовой скоростью.
b) $ \varphi(x, t + \frac{2 \pi}{\omega}) = \varphi(x, t)$, т.е.  значение $\varphi$ в фиксированной точке $x$ повторяется с течением времени с периодом $\frac{2 \pi}{\omega}$. Сообразно этому $\omega$ называется циклической частотой.
c) $ \varphi(x +2 \pi \frac{ v}{\omega}, t) = \varphi(x, t)$, т.е.  значение $\varphi$ в фиксированный момент времени $t$ повторяется вдоль оси с периодом
$\lambda = 2 \pi \frac{ v}{\omega}$. Этот (пространственный) период называется длиной волны.

Теперь самое интересное. Говорят, что разные среды отличаются друг от друга видом соотношения $\omega = \omega (\lambda)$. Но ведь это соотношение жестко следует из уравнения волны (0) и имеет вид $\lambda = 2 \pi \frac{ v}{\omega}$! Или нет? Где я ошибаюсь?
Пусть волна переходит в среду, в которой будет иметь другую фазовую скорость (например, свет - из вакуума в стекло). Что это будет означать для частоты и длины волны? Сохранится частота, но изменится длина волны? Или, напротив, сохранится длина волны, но изменится частота? Или сохранится и то и другое, но перестанет выполняться соотношение $\lambda = 2 \pi \frac{ v}{\omega}$? Что произойдет и почему?

[Pphantom]

Anton_Peplov в сообщении #951213 писал(а):

Теперь самое интересное. Говорят, что разные среды отличаются друг от друга видом соотношения $\omega = \omega (\lambda)$. Но ведь это соотношение жестко следует из уравнения волны (0) и имеет вид $\lambda = 2 \pi \frac{ v}{\omega}$!

Почему Вы решили, что $v$ константа и не зависит от $\omega$?

[DimaM]

Anton_Peplov в сообщении #951213 писал(а):

Что это будет означать для частоты и длины волны? Сохранится частота, но изменится длина волны? Или, напротив, сохранится длина волны, но изменится частота? Или сохранится и то и другое, но перестанет выполняться соотношение $\lambda = 2 \pi \frac{ v}{\omega}$? Что произойдет и почему?

Последнего точно не произойдет, потому как это соотношение - на самом деле определение. Насчет прочего - подумайте про граничные условия, они должны выполняться в любой момент времени, а также в любой точке границы (это дает закон Снеллиуса, если волна падает не по нормали).

[Anton_Peplov]

Pphantom в сообщении #951220 писал(а):

Почему Вы решили, что $v$ константа и не зависит от $\omega$?

Да, действительно. Меня сбило то, что $v$ - это константа, входящая в волновое уравнение
$\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - v^2\frac{\partial^2\varphi}{\partial x^2} = 0$
одним из решений коего является функция
$\varphi(x, t) = A\sin(kx - \omega t)$. Но в данном случае слово "константа" означает лишь, что $v$ не зависит от $x$ и $t$, и ничего больше.
Итак, $\omega (\lambda) = \frac{ 2 \pi}{\lambda}v(\lambda)$. Так?

Но все-таки, формулу $\omega \lambda = 2\pi v$ это не отменяет. Если при переходе между средами меняется $v$, должно меняться либо $\omega$, либо $\lambda$, либо и то и другое. Что же меняется все-таки? Или в разных случаях по-разному?

[Pphantom]

Anton_Peplov в сообщении #951288 писал(а):

Итак, $\omega (\lambda) = \frac{ 2 \pi}{\lambda}v(\lambda)$. Так?

Так.

Anton_Peplov в сообщении #951288 писал(а):

Что же меняется все-таки?

Длина волны.

[Anton_Peplov]

Спасибо.

[Munin]

Anton_Peplov в сообщении #951288 писал(а):

Если при переходе между средами меняется $v$, должно меняться либо $\omega$, либо $\lambda$, либо и то и другое. Что же меняется все-таки? Или в разных случаях по-разному?

Всегда можно подумать о том, что будет делать точка на границе двух сред. Она может быть описана как относящаяся к волне в одной среде (с $\omega_1$), либо к волне в другой среде (с $\omega_2$). Чтобы это совместить, необходимо положить $\omega_1=\omega_2.$ А уж длины волн будут каждая находиться в своей среде, и пускай они будут разные.

Кстати, аналогичным рассуждением можно получить закон преломления.