2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:00 


15/12/14
19
Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.
Добрался до неравенства $\frac{k-1}{4\cdot(k+1)^2-1}<\varepsilon$
Но дальше тоже испытываю затруднения. Не могу решить это неравенство относительно k, можно ли мне дальше производить его оценку вот так:
$\frac{k-1}{4\cdot(k+1)^2-1}<\frac{k}{4\cdot(k+1)^2-1}=\frac{k}{4k^2+8k+3}<\frac{k}{4k^2+8k}=\frac{1}{4k+8}<\varepsilon$

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kostiv в сообщении #950974 писал(а):
мне так удобнее и это у нас разрешено.

kostiv в сообщении #950948 писал(а):
Не вариант, придирчивый и требовательный преподаватель.

Противоречие, однако!
Вы ничего не путаете? Может "разрешено" было, когда доказывали расходимость?
Вообще-то в математике нужны не "разрешения", а логика.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:15 


28/05/12
214
kostiv в сообщении #950974 писал(а):
Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.

Тогда это не будет доказательством.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:20 


15/12/14
19
Slow в сообщении #950980 писал(а):
kostiv в сообщении #950974 писал(а):
Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.

Тогда это не будет доказательством.

Тогда так?
$\frac{p-1}{4\cdot(n+1)^2-1}<\frac{p}{4\cdot(n+1)^2-1}=\frac{p}{4n^2+8n+3}<\frac{p}{4n^2+8n}<\varepsilon$
И если так, то что дальше делать с этим неравенством, решить его относительно $n$ не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:31 


28/05/12
214
Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:33 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Это неравенство не будет выполняться для произвольных $p$. Слишком грубая оценка. Ведь $p$ может быть чудовищно большим.
Нет, вернитесь к предыдущему: Достаточно подобрать $n$ так, чтобы для всех $p>0$ выполнялось $$\dfrac{1}{4(n+1)^2-1}+... +\dfrac{1}{4(n+p)^2-1}<\varepsilon$$
Оценкой через первое слагаемое здесь ничего не добьешься.
Лучше посмотрите, что это за сумма. Она ведь похожа на

(Оффтоп)

сумму отрезка ряда. Какого?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:39 


15/12/14
19
Slow в сообщении #950990 писал(а):
Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

Ну, он расходится

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kostiv в сообщении #950996 писал(а):
Ну, он расходится

:shock: :evil:

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:42 


28/05/12
214
kostiv в сообщении #950996 писал(а):
Slow в сообщении #950990 писал(а):
Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

Ну, он расходится

Рискну предположить что вы путаете с $\frac{1}{n}$

Те кто не обременен знанием про обобщенный гармонический ряд могут вернуться к тому как изначально задавался ряд(ведь не случайно там такая формула) и представить общий член как разность двух дробей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Slow в сообщении #950999 писал(а):
и представить общий член как разность двух дробей.
Зачем? Что это даст?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:50 


15/12/14
19
Ой, действительно, сходится, но мне-то нужно это доказать с помощью критерия Коши

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:52 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
Ну так следуйте моим подсказкам.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:54 


28/05/12
214
kostiv в сообщении #951003 писал(а):
Ой, действительно, сходится, но мне-то нужно это доказать с помощью критерия Коши

А вы разве его уже не использовали?

provincialka в сообщении #951002 писал(а):
Slow в сообщении #950999 писал(а):
и представить общий член как разность двух дробей.
Зачем? Что это даст?

Ну там сократится почти все.

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 01:56 


15/12/14
19
provincialka в сообщении #951004 писал(а):
Ну так следуйте моим подсказкам.

Ну я так понял, вы намекаете, что это похоже как раз на сумму ряда $\frac{1}{n^2}$, который является сходящимся, а значит и эта сумма сходится. Так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.
Сообщение23.12.2014, 02:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
kostiv, да, примерно так. То есть критерий Коши используется дважды в "разные стороны".
Slow
Как же сократится, если числители разные.

-- 23.12.2014, 02:01 --

А! Вы имели в виду сумму после убирания косинусов. Ну да, можно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Google Adsense [Bot]


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group