Исследовать сходимость последовательности. Критерий Коши.

[kostiv]

Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.
Добрался до неравенства $\frac{k-1}{4\cdot(k+1)^2-1}<\varepsilon$
Но дальше тоже испытываю затруднения. Не могу решить это неравенство относительно k, можно ли мне дальше производить его оценку вот так:
$\frac{k-1}{4\cdot(k+1)^2-1}<\frac{k}{4\cdot(k+1)^2-1}=\frac{k}{4k^2+8k+3}<\frac{k}{4k^2+8k}=\frac{1}{4k+8}<\varepsilon$

[provincialka]

kostiv в сообщении #950974 писал(а):

мне так удобнее и это у нас разрешено.

kostiv в сообщении #950948 писал(а):

Не вариант, придирчивый и требовательный преподаватель.

Противоречие, однако!
Вы ничего не путаете? Может "разрешено" было, когда доказывали расходимость?
Вообще-то в математике нужны не "разрешения", а логика.

[Slow]

kostiv в сообщении #950974 писал(а):

Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.

Тогда это не будет доказательством.

[kostiv]

Slow в сообщении #950980 писал(а):

kostiv в сообщении #950974 писал(а):

Всё-таки решил использовать частный случай для доказательства, мне так удобнее и это у нас разрешено.

Тогда это не будет доказательством.

Тогда так?
$\frac{p-1}{4\cdot(n+1)^2-1}<\frac{p}{4\cdot(n+1)^2-1}=\frac{p}{4n^2+8n+3}<\frac{p}{4n^2+8n}<\varepsilon$
И если так, то что дальше делать с этим неравенством, решить его относительно $n$ не могу.

[Slow]

Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

[provincialka]

Это неравенство не будет выполняться для произвольных $p$. Слишком грубая оценка. Ведь $p$ может быть чудовищно большим.
Нет, вернитесь к предыдущему: Достаточно подобрать $n$ так, чтобы для всех $p>0$ выполнялось

$$\dfrac{1}{4(n+1)^2-1}+... +\dfrac{1}{4(n+p)^2-1}<\varepsilon$$

Оценкой через первое слагаемое здесь ничего не добьешься.
Лучше посмотрите, что это за сумма. Она ведь похожа на

(Оффтоп)

сумму отрезка ряда. Какого?

[kostiv]

Slow в сообщении #950990 писал(а):

Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

Ну, он расходится

[provincialka]

kostiv в сообщении #950996 писал(а):

Ну, он расходится

[Slow]

kostiv в сообщении #950996 писал(а):

Slow в сообщении #950990 писал(а):

Про ряд с общим членом $\frac{1}{n^2}$ знаете что то?

Ну, он расходится

Рискну предположить что вы путаете с $\frac{1}{n}$

Те кто не обременен знанием про обобщенный гармонический ряд могут вернуться к тому как изначально задавался ряд(ведь не случайно там такая формула) и представить общий член как разность двух дробей.

[provincialka]

Slow в сообщении #950999 писал(а):

и представить общий член как разность двух дробей.

Зачем? Что это даст?

[kostiv]

Ой, действительно, сходится, но мне-то нужно это доказать с помощью критерия Коши

[provincialka]

Ну так следуйте моим подсказкам.

[Slow]

kostiv в сообщении #951003 писал(а):

Ой, действительно, сходится, но мне-то нужно это доказать с помощью критерия Коши

А вы разве его уже не использовали?

provincialka в сообщении #951002 писал(а):

Slow в сообщении #950999 писал(а):

и представить общий член как разность двух дробей.

Зачем? Что это даст?

Ну там сократится почти все.

[kostiv]

provincialka в сообщении #951004 писал(а):

Ну так следуйте моим подсказкам.

Ну я так понял, вы намекаете, что это похоже как раз на сумму ряда $\frac{1}{n^2}$, который является сходящимся, а значит и эта сумма сходится. Так?

[provincialka]

kostiv, да, примерно так. То есть критерий Коши используется дважды в "разные стороны".
Slow
Как же сократится, если числители разные.

-- 23.12.2014, 02:01 --

А! Вы имели в виду сумму после убирания косинусов. Ну да, можно.