Теория Вероятностей.

[tazdraperm]

--mS--, попробую еще раз..
Среднее арифметическое независимых и одинаково распределенных случайных величин сходится по вероятности к среднему арифметическому математических ожиданий этих величин

[--mS--]

Другое дело, только зачем среднее арифметическое матожиданий, они же одинаковы. Просто к матожиданию одной случайной величины. К нулю то есть. Ну а теперь осталось вспомнить определение сходимости по вероятности и сказать, что поскольку $\dfrac{\xi_n}{n}$ распределена так же как $\dfrac{\eta_1+\ldots+\eta_n}{n}$, то

$$\mathsf P\left(\left|\dfrac{\xi_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)=\mathsf P\left(\left|\dfrac{\eta_1+\ldots+\eta_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)$$

для всякого $\varepsilon>0$, т.е. и $\dfrac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по вероятности.

На самом деле есть смысл и первое Ваше решение - со сходимостью по распределению - довести до ума. А то вдруг преподаватель захочет нескольких решений, и будет прав. Вы там ничего не сказали ещё про $x=0$. А для этого надо определение сходимости по распределению вспомнить и сказать, надо ли что-то про этот икс говорить.

И со сходимостью по вероятности чисто по определению надо бы до ума довести. Неравенство Маркова или напрямую вычислить вероятность, которую Вы в первом сообщении начали вычислять. Только безо всяких $\frac1n=0$. И не теряя модуля:

$$\mathsf P\left(\left|\dfrac{\xi_n}{n}\right|\geqslant \varepsilon\right)=1-(F_{\xi_n}(n\varepsilon)-F_{\xi_n}(-n\varepsilon)),$$

а теперь хоть через функцию ошибок, хоть через $\xi_n/\sqrt{n}\sim N(0,1)$ можно показать, что правая часть стремится к нулю.

[Henrylee]

Учитывая дату последнего сообщения, позволю себе дополнить тему. Расмотренные виды сходимости, конечно, выполняются и без знания распределения, достаточно моментов. Ну коль скоро известно про гауссовость, можно доказать еще сходимость почти наверное.

Конечно, отсюда

buggsbuggs в сообщении #950576 писал(а):

По-моему, здесь все ясно - случайная величина $\eta = \frac{\xi_n}{\sqrt{n}}$ при ваших данных имеет стандартное нормальное распределение, откуда $\frac{\xi_n}{n} = \frac{\eta}{\sqrt{n}} \to 0$ во всех разумных смыслах.

это никак не следует, ибо $\eta$ здесь зависит от $n$, а никто не обещал для нее п.н. равномерной ограниченности или небыстрого роста максимума.
Тем не менее рассматриваемая гауссовская последовательность ввиду быстрой сходимости хвоста почти наверно не лезет дальше $\sqrt{(2+\delta)n\ln n},\ \delta>0$.
Подробнее, как нетрудно посчитать, для $x>0$

$$ 2\left(1-\Phi(x)\right)\leqslant\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{\pi}x}e^{-x^2/2} $$

Поэтому для любого $\varepsilon>0$

$$ \sum\limits_{n=1}^\infty\Prob\left\{\frac{\left|\xi_n\right|}{n}>\varepsilon\right\}= \sum\limits_{n=1}^\infty\Prob\left\{\frac{\left|\xi_n\right|}{\sqrt{n}}>\sqrt{n}\varepsilon\right\}\leqslant\sqrt{\frac2\pi}\sum\limits_{n=1}^\infty\frac1{\varepsilon\sqrt{n}}e^{-\frac12\varepsilon^2n}<\infty, $$

откуда и следует п.н. сходимость.