Задача Коши для уравнения гиперболического типа

[LD_]

Условия задачи:

$$e^{2y}\frac{\partial^2u}{\partial x^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\frac{\partial u}{\partial y}-4e^{2y}cos(x-e^y)=0,\ u|_{x=3e^y}=1,\ \left\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{x=3e^y}=0$$

С помощью замены $\begin{cases}\xi=e^y-x,\\ \eta=e^y+x.\end{cases}$ уравнение привелось к следующему виду:

$$\frac{\partial^2\tilde u}{\partial\xi\partial\eta}=-cos(\xi).$$

Дальше я проинтегрировал по $\xi$.

$$\frac{\partial\tilde u}{\partial\eta}=-sin(\xi)+f_1(\eta).$$

Затем проинтегрировал по $\eta$.

$$\tilde u(\xi,\eta)=-\eta sin(\xi)+\int f_1(\eta)d\eta + F_2(\xi).$$

Обозначил $F_1(\eta):=\int f_1(\eta)d\eta$ и вернулся к первоначальным переменным, получил общее решение.

$$u(x,y)=-(e^y+x)sin(e^y-x)+F_1(e^y+x)+F_2(e^y-x).$$

Теперь нужно воспользоваться условиями задачи Коши, для выделения нужного решения. Из первого условия нахожу, что:

$$1=4e^ysin(2e^y)+F_1(4e^y)+F_2(-2e^y).$$

Из второго:

$$\frac{\partial u}{\partial x}= -sin(e^y-x)+(e^y+x)cos(e^y-x)+F'_1 (e^y+x)+F'_2 (e^y-x).$$

$$0=sin(2e^y)+4e^y cos(2e^y)+F'_1(4e^y)+F'_2(-2e^y).$$

Получилась система:

$$\begin{cases}F_1(4e^y)+F_2(-2e^y)=1-4e^y sin(2e^y)\\ F'_1(4e^y)+F'_2(-2e^y)=-sin(2e^y)-4e^y cos(2e^y)\end{cases}$$

Как найти из системы $F_1$, $F_2$ или нужно ещё чем-то воспользоваться?

[Red_Herring]

Как насчет того, чтобы заменить $2e^y=z$ и затем продифференцировать первое уравнение по $z$ ….

Кстати в ТеХ следует писать \sin, \cos и т.д.

[LD_]

Red_Herring Спасибо большое.

А в производной я ошибся со знаком.
Так правильно.

$$\frac{\partial u}{\partial x}= -\sin(e^y-x)+(e^y+x)\cos(e^y-x)+F'_1 (e^y+x)-F'_2 (e^y-x).$$

$$0=\sin(2e^y)+4e^y \cos(2e^y)+F'_1(4e^y)-F'_2(-2e^y).$$

Получилась система:

$$\begin{cases}F_1(4e^y)+F_2(-2e^y)=1-4e^y \sin(2e^y)\\ F'_1(4e^y)-F'_2(-2e^y)=-\sin(2e^y)-4e^y \cos(2e^y)\end{cases}$$

Замена $z=2e^y$. Получаем систему:

$$\begin{cases}F_1(2z)+F_2(-z)=1-2z \sin(2z)\\ F'_1(2z)-F'_2(-z)=-\sin(z)-2z \cos(z)\end{cases}$$

Дифференцируем первое уравнение:

$$\begin{cases}2F'_1(2z)-F'_2(-z)=-2\sin(z)-2z\cos(z)\\ F'_1(2z)-F'_2(-z)=-\sin(z)-2z \cos(z)\end{cases}$$

Из системы находим, что:

$$\begin{cases}F'_1(2z)=-\sin(z)\\F'_2(-z)=2z\cos(z)\end{cases}$$

После интегрирования, получим, что

$$\begin{cases}F_1(2z)=2\cos(z)+C_1\\F_2(-z)=-2z\sin(z)-2\cos(z)+C_2\end{cases} C_1,C_2\in\mathbb{R}$$

Подставляя найденные функции в систему до дифференцирования, найдём, что: $C_1=1-C_2$
В итоге функции $F_1,F_2$ имеют след. вид: $F_1(t)=2\cos(\frac t2)+1-C_2;\ F_2(t)=-2t\sin(t)-2\cos(t)+C_2$.
Решение:

$$u(x,y)=-(e^y+x)\sin(e^y-x)+2\cos\left(\frac{e^y+x}{2}\right)+1-2(e^y-x)\sin(e^y-x)-2\cos(e^y-x).$$

Инфернальные уравнения.