Слабо непрерывные линейные функционалы

[AD]

В конспектах (не своих) лекций по функциональному анализу обнаружил такое утверждение:

Цитата:

Пусть $f$ - линейный функционал на $E$. Если $f$ - непрерывен относительно слабой топологии в $E$, то он непрерывен относительно исходной нормы в $E^*$

Е - (вроде как) нормированное пространство. В конце, что-ли, опечатка?, предполагается, наверное, "относительно исходной нормы в $E$".
Дальше идет на две страницы доказательство.

Ну так что тут доказывать-то? Ведь слабая топология слабее?, значит если прообраз открытого множества открыт в слабой топологии, то он открыт и по норме, так?

[Профессор Снэйп]

Хе-хе...

Я, помню, сдавал что-то такое алгебраическое. Тоже доказательство скатал из книжки, страницы на 3 и не разобравшись пошёл отвечать. В ходе ответа выяснилось, что из этих трёх страниц 2 страницы доказывается следующая "лемма": если в многочлен с целыми коэффициентами вместо $x$ подставить целое число, то значение многочлена тоже будет целым числом.

Добавлено спустя 4 минуты 52 секунды:

А, может, в этом отрывке на 2 страницы как раз и доказывалось, что слабая топология слабее?

[AD]

Цитата:

А, может, в этом отрывке на 2 страницы как раз и доказывалось, что слабая топология слабее?

Скорее что при непрерывном отображении прообраз открытого множества открыт. Хотя не знаю.

Доказательство начинается со слов "сначала докажем очевидное обратное утверждение" (примерно полстраницы). Еще полстраницы - "лемма о трех гомоморфизмах" для линейных пространств, используемая в доказательстве.

[Профессор Снэйп]

А как слабая топология вообще определяется? Это случайно не слабейшая топология, в который каждый непрерывный (относительно сильной топологии, задаваемой нормой) линейный функционал непрерывен?

[AD]

Да, обратное утверждение действительно (тоже?) очевидное. Короче, ничё не понимаю.

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):

А как слабая топология вообще определяется?

Ну как топология локально-выпуклого пространства, если в качестве семейства полунорм брать полунормы $\|x\|_f=|f(x)|$ по всем $f\in E^*$.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

То бишь шарик - это множество, нумеруемое центром $x$, набором функционалов $f_1,\ldots,f_n\in E^*$ и радиусом $r$, и определяемое как $B_{r;f_1,\ldots,f_n}(x)=\{y\in E:|f_1(y-x)|<r,\ldots,|f_n(y-x)|<r\}$, а открытое множество - это которое с каждой точкой содержит шарик.

[Профессор Снэйп]

Ну да, похоже, так и есть. Берётся семейство всех прообразов открытых множеств относительно элементов $E^\ast$ и замыкается относительно конечных пересечений, получается семейство множеств, открытых в слабой топологии.

Ясно, что топология действительно получается слабее. И вроде в обе стороны действительно очевидно (линейный функционал непрерывен в слабой топологии тогда и только тогда, когда он непрерывен в сильной топологии). Или я чего-то тоже не понимаю?

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Или я чего-то тоже не понимаю?

Вот в этом и вопрос ...

[Профессор Снэйп]

Наверное, я всё-таки поспешил вот с этим:

Профессор Снэйп писал(а):

Ну да, похоже, так и есть. Берётся семейство всех прообразов открытых множеств относительно элементов $E^\ast$ и замыкается относительно конечных пересечений, получается семейство множеств, открытых в слабой топологии.

Если мы возьмём множество, которое вместе с каждой точкой содержит шарик, то для разных точек функционалы, участвующие в определении шарика, могут быть различны.

Да, но ведь всё равно каждый такой шарик открыт в сильной топологии. Всё равно не понимаю, в чём проблема.

[AD]

Профессор Снэйп писал(а):

Всё равно не понимаю, в чём проблема.

Ну ээээ ... спасибо за поддержку ... Короче непонятно ничего.

[Someone]

Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:

Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

[Профессор Снэйп]

Someone писал(а):

Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:

Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Возможно, это как раз в конспектах и доказывается на 2 страницы. А исходное определение слабой топологии берётся как написано --- через "шарики".

Я выше немного поспешил с тем, что все конечные пересечения дают топологию. Они дают только базу топологии. Соответственно все прообразы открытых множеств относительно непрерывных в исходной топологии функционалов дают предбазу.

Но всё равно 2 страницы для такого тривиального утверждения --- много.

[AD]

Да, наверное, как говорится, лажа какая-то. Ничего, завтра узнаем ))

[Someone]

Профессор Снэйп писал(а):

Someone писал(а):

Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:

Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

Возможно, это как раз в конспектах и доказывается на 2 страницы. А исходное определение слабой топологии берётся как написано --- через "шарики".

Ну да, у Колмогорова и Фомина тоже так. Только доказательства на двух страницах нет, утверждение считается само собой разумеющимся (оно таковым и является).