2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В этом разделе нельзя создавать новые темы.



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Слабо непрерывные линейные функционалы
Сообщение10.01.2008, 18:29 
Экс-модератор


17/06/06
5004
В конспектах (не своих) лекций по функциональному анализу обнаружил такое утверждение:
Цитата:
Пусть $f$ - линейный функционал на $E$. Если $f$ - непрерывен относительно слабой топологии в $E$, то он непрерывен относительно исходной нормы в $E^*$
Е - (вроде как) нормированное пространство. В конце, что-ли, опечатка?, предполагается, наверное, "относительно исходной нормы в $E$".
Дальше идет на две страницы доказательство.

Ну так что тут доказывать-то? Ведь слабая топология слабее?, значит если прообраз открытого множества открыт в слабой топологии, то он открыт и по норме, так?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 18:53 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Хе-хе...

Я, помню, сдавал что-то такое алгебраическое. Тоже доказательство скатал из книжки, страницы на 3 и не разобравшись пошёл отвечать. В ходе ответа выяснилось, что из этих трёх страниц 2 страницы доказывается следующая "лемма": если в многочлен с целыми коэффициентами вместо $x$ подставить целое число, то значение многочлена тоже будет целым числом. :D :D

Добавлено спустя 4 минуты 52 секунды:

А, может, в этом отрывке на 2 страницы как раз и доказывалось, что слабая топология слабее?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:17 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Цитата:
А, может, в этом отрывке на 2 страницы как раз и доказывалось, что слабая топология слабее?
Скорее что при непрерывном отображении прообраз открытого множества открыт. :? Хотя не знаю.

Доказательство начинается со слов "сначала докажем очевидное обратное утверждение" :shock: (примерно полстраницы). Еще полстраницы - "лемма о трех гомоморфизмах" для линейных пространств, используемая в доказательстве. :?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:19 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
А как слабая топология вообще определяется? Это случайно не слабейшая топология, в который каждый непрерывный (относительно сильной топологии, задаваемой нормой) линейный функционал непрерывен?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:27 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, обратное утверждение действительно (тоже?) очевидное. Короче, ничё не понимаю.

Добавлено спустя 2 минуты 56 секунд:

Профессор Снэйп писал(а):
А как слабая топология вообще определяется?
Ну как топология локально-выпуклого пространства, если в качестве семейства полунорм брать полунормы $\|x\|_f=|f(x)|$ по всем $f\in E^*$.

Добавлено спустя 4 минуты 14 секунд:

То бишь шарик - это множество, нумеруемое центром $x$, набором функционалов $f_1,\ldots,f_n\in E^*$ и радиусом $r$, и определяемое как $B_{r;f_1,\ldots,f_n}(x)=\{y\in E:|f_1(y-x)|<r,\ldots,|f_n(y-x)|<r\}$, а открытое множество - это которое с каждой точкой содержит шарик.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:35 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Ну да, похоже, так и есть. Берётся семейство всех прообразов открытых множеств относительно элементов $E^\ast$ и замыкается относительно конечных пересечений, получается семейство множеств, открытых в слабой топологии.

Ясно, что топология действительно получается слабее. И вроде в обе стороны действительно очевидно (линейный функционал непрерывен в слабой топологии тогда и только тогда, когда он непрерывен в сильной топологии). Или я чего-то тоже не понимаю?

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:43 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп писал(а):
Или я чего-то тоже не понимаю?
Вот в этом и вопрос ...

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 19:49 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Наверное, я всё-таки поспешил вот с этим:

Профессор Снэйп писал(а):
Ну да, похоже, так и есть. Берётся семейство всех прообразов открытых множеств относительно элементов $E^\ast$ и замыкается относительно конечных пересечений, получается семейство множеств, открытых в слабой топологии.


Если мы возьмём множество, которое вместе с каждой точкой содержит шарик, то для разных точек функционалы, участвующие в определении шарика, могут быть различны.

Да, но ведь всё равно каждый такой шарик открыт в сильной топологии. Всё равно не понимаю, в чём проблема.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 20:06 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Профессор Снэйп писал(а):
Всё равно не понимаю, в чём проблема.
Ну ээээ ... спасибо за поддержку ... Короче непонятно ничего.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 22:15 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:
Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 22:27 
Заморожен
Аватара пользователя


18/12/07
8774
Новосибирск
Someone писал(а):
Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:
Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.


Возможно, это как раз в конспектах и доказывается на 2 страницы. А исходное определение слабой топологии берётся как написано --- через "шарики".

Я выше немного поспешил с тем, что все конечные пересечения дают топологию. Они дают только базу топологии. Соответственно все прообразы открытых множеств относительно непрерывных в исходной топологии функционалов дают предбазу.

Но всё равно 2 страницы для такого тривиального утверждения --- много.

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 22:29 
Экс-модератор


17/06/06
5004
Да, наверное, как говорится, лажа какая-то. Ничего, завтра узнаем ))

 Профиль  
                  
 
 
Сообщение10.01.2008, 22:53 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
18004
Москва
Профессор Снэйп писал(а):
Someone писал(а):
Кстати, у Колмогорова и Фомина так и сказано:

Цитата:
Слабая топология в $E$ - это самая слабая из топологий, в которой непрерывны все линейные функционалы, непрерывные в исходной топологии этого пространства.


Возможно, это как раз в конспектах и доказывается на 2 страницы. А исходное определение слабой топологии берётся как написано --- через "шарики".


Ну да, у Колмогорова и Фомина тоже так. Только доказательства на двух страницах нет, утверждение считается само собой разумеющимся (оно таковым и является).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 13 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group