2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 19:43 
Здравствуйте. Такая задача:

${A_1},...,{A_n}$ - независимые события, $P({A_i}) = {p_i}$

Требуется доказать неравенство :

$\[P({A_1} \cup ... \cup {A_n}) \ge 1 - {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }}\]$

Что у меня получилось:

Я расписал формулу объединения $n$ событий и разложил в ряд тейлора экспоненту, после разложения там часть слагаемых превратились в формулу объединения $n$ событий таким образом:

$\[1 - {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }} = P({A_1} \cup ... \cup {A_n}) - (\frac{{p_1^2 + .. + p_n^2}}{2} - \frac{{p_1^3 + .. + p_n^3 + ({p_1} + .. + {p_n})(p_1^2 + .. + p_n^2)}}{6} + ...)\]$

Получается, нужно показать, что вот этот второй член в скобках $\ge 0$, но никак не получается. Прошу помочь, пожалуйста.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 19:46 
Аватара пользователя
А не проще перейти к противоположному событию? (пока не считала, так, мысль)

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 19:53 
provincialka в сообщении #950016 писал(а):
А не проще перейти к противоположному событию? (пока не считала, так, мысль)


Не думал об этом. Я еще поправил степень экспоненты, там перед суммой минус стоит.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 19:55 
Аватара пользователя
Часть вида $1-$ каг бэ намекает. Но надо думать.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 19:58 
Просто при разложении экспоненты единицы сразу сокращаются и не мозолят глаза. Поэтому как-то и не пробовал с дополнительным событием работать.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:03 
Аватара пользователя
Кстати, независимость в совокупности? Или попарно?

-- 20.12.2014, 21:06 --

Если независимость в совокупности, там все хорошо получается. Достаточно знать о выпуклости экспоненты в 0.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:23 
В совокупности. Получается то, что я написал, можно вообще убрать? Можно хотя бы идею какую-нибудь? Я вообще не вижу, как мне выпуклость помогает здесь.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:24 
Аватара пользователя
Про выпуклость -- это я так, для загадошности 8-) Потом поймете

Вы перешли к дополнительному событию? Как в этом случае перепишется неравенство?

-- 20.12.2014, 21:29 --

$B=\bigcup\limits_{i=1}^{n}A_i$. Чему равно $\overline{B}$? А $p(\overline B)$?

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:30 
$\[P({{\bar A}_1} \cap ... \cap {{\bar A}_n}) \le {e^{ - \sum\limits_{i = 1}^n {{p_i}} }}\]$
Я боюсь какую-нибудь глупость написать.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:32 
Аватара пользователя
Ой, нет! Это неравенство тривиально. Еще подумайте.

-- 20.12.2014, 21:34 --

Теперь верно.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 21:55 
Раз сами события независимые, то и их дополнения независимы. Можем ту штуку слева расписать: $\[(1 - {p_1})(1 - {p_2})..(1 - {p_n})\]$. Правильно же?

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 22:11 
Аватара пользователя
Ага! Кстати, и справа по сути стоит произведение.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 22:19 
$\[(1 - {p_1})(1 - {p_2})..(1 - {p_n}) \le {e^{ - {p_1}}}{e^{ - {p_2}}}..{e^{ - {p_n}}} = (1 - {p_1} + \frac{{p_1^2}}{2} - \frac{{p_1^3}}{6}..)(..)..(..)\]$

Ну вот $\frac{{p_1^2}}{2} \ge \frac{{p_1^3}}{6}$ выполняется для всех ${p_i}$, т.к. они меньше единицы и больше нуля. Поэтому справа в каждой скобке стоит число больше числа в похожей скобке слева. Но это как-то некрасиво...

Ну дальше тоже число с четвертой степенью больше числа с пятой и так далее, так что все эти точки будут положительным числом.

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 23:23 
Аватара пользователя
Стоило на минутку (на часок) отвлечься, а тут ТАКОЕ!
Сравнивайте каждый сомножитель слева с аналогичным справа!!!!

 
 
 
 Re: Теория Вероятности
Сообщение20.12.2014, 23:27 
Ну я имел ввиду для каждой скобки такое сравнение, просто пример привел на первой.

 
 
 [ Сообщений: 19 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group