Метрика — это функция, сопоставляющая двум точкам расстояние между ними. Если ввести на куске интересующего пространства координаты, то можно выразить квадрат расстояния, которое мы получим при бесконечно малом смещении на

от точки

как

, т. е. это просто применение квадратичной формы к смещению

. Какой именно — говорят компоненты

.
В СТО и ОТО у нас, правда,
псевдометрика, т. к. «квадрат расстояния»-то может быть и меньше нуля, но на аппарате никак не сказывается, просто компоненты

могут быть более разнообразными. В СТО в какой-нибудь ИСО

по всему пространству-времени, а остальные компоненты нулевые (такой набор компонент обычно обозначают

).
В евклидовой плоскости тоже, если мы выберем декартову систему координат, компоненты будут

, т. е. нули при разных индексах и единицы при одинаковых.
В (псевдо)евклидовом пространстве мы можем измерять расстояния между сколь угодно далёкими точками ровно так же, т. к. параллельные переносы такого пространства образуют одно векторное пространство

, и

«живёт» также в одном на всех пространстве

. В (псевдо)римановом это в общем случае, конечно, не так, но касательные пространства для двух близких точек опять же ведут себя предсказуемо, и в координатах это выражается (в меру моего заблуждения) в символах Кристоффеля, которых вы просили не упоминать (а я как раз в них и не разбираюсь).

Как-то так. Т. е. метрический тензор с эффектами в неИСО не связан. Надеюсь, нигде не переупростил и не переусложнил.