Уравнения в частных производных

[Nurzery[Rhymes]]

Помогите разобраться в решении уравнений в частных производных. Сейчас я решаю такое уравнение:

$y\frac{dz}{dx}-x\frac{dz}{dy}=0$

Выполняю действия, смысл которых не понимаю. Надо свести это уравнение к системе в симметрической записи:

$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}=\frac{dz}{0}$

Почему мы составляем ее именно так? Из примеров я понял принцип: знаменатель дифференциалов вида $\frac{dz}{dx}$ делим на то, что умножается на этот дифференциал, но я не понимаю, почему так надо делать. Не вижу, каким способом можно получить исходное уравнение из этой системы.

В общем, решаю первое уравнение:

$\frac{dx}{y}=-\frac{dy}{x}$

$ydy=-xdx$

$\frac{y^2}{2}=-\frac{x^2}{2}+C$

Я все делаю правильно? Что делать дальше?

-- 19.12.2014, 22:57 --

Еще я не понимаю смысл символа $\frac{dz}{0}$. Как может быть дифференциал функции по нулю? Что это значит? В состав дифференциала входит производная - отношение приращения функции к приращению аргумента, а в этой записи получается отношение дифференциала к нулю.

[Pphantom]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):

Помогите разобраться в решении уравнений в частных производных.

Интересно, но после этой фразы частные производные пропадают начисто: и из записи, и из смысла (частная производная не является отношением двух дифференциалов).

[cool.phenon]

Это получается из того, что для этого уравнения существуют кривые, производные вдоль которых нулевые. Эти кривые называются характеристиками, вот симметрический вид как раз их и задает.

[Red_Herring]

Для начала, Вы неправильно записываете частные производные. Следует вместо dписать \partial (с пробелом после) \frac{\partial z}{\partial x}

Теперь по существу: если у Вас уравнение имеет вид $a \frac{\partial z}{\partial x} + b \frac{\partial z}{\partial y}=0$, то если мы придадим $x,y$ приращения $dx=adt$, $dy=bdt$, то $dz= \frac{\partial z}{\partial x}dx+ \frac{\partial z}{\partial y}dy$ (по правилу дифференцирования сложной функции) т.е. $dz= (a\frac{\partial z}{\partial x}+ b\frac{\partial z}{\partial y})dt=0$. Т.е. это придаёт смысл действиям

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):

Выполняю действия, смысл которых не понимаю.

Теперь, когда Вы получили

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):

$\frac{y^2}{2} + \frac{x^2}{2}=C$

мы видим что интегральные линии "нумеруются" параметром $C$ причём однозначно (ясно, что они окружности, но это не суть важно). И вдоль них $dz=0$ т.е. $z$ постоянно (это Вы забыли). Т.е. $z$ зависит только от линии, но не от положения на ней. А что нумерует линию? $x^2+y^2 $ ($=2C$). Т.е. $z=f(x^2+y^2)$ где $f$ — произвольная функция.

ЧИТАЙТЕ УЧЕБНИК

[Nurzery[Rhymes]]

Посоветуйте учебник, который я бы почитал. У Краснова и Пискунова этих тем нет. У последнего есть уравнения мат. физики, но по оглавлению я там не увидел уравнений в частных производных. Нашему преподу, похоже, вообще плевать на то, что половина из нас ничего не понимает. Он сам работает в основном в биоинформатике, а универ для него, похоже, просто развлечение, куда он приходит шутковать на парах, рассуждать о превосходстве над гуманитариями и повышать свою значимость.

[Red_Herring]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949635 писал(а):

Посоветуйте учебник, который я бы почитал.

А как можно советовать, если не знать Вашего уровня, специальности и прочего?

[Nurzery[Rhymes]]

Red_Herring в сообщении #949636 писал(а):

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949635 писал(а):

Посоветуйте учебник, который я бы почитал.

А как можно советовать, если не знать Вашего уровня, специальности и прочего?

Посоветуйте не очень сложный. Специальность - компьютерная безопасность, у нас главные предметы - это алгебра и теория чисел, а диффуры не очень важный.

[Oleg Zubelevich]

Nurzery[Rhymes] в сообщении #949624 писал(а):

производных. Сейчас я решаю такое уравнение:

$y\frac{dz}{dx}-x\frac{dz}{dy}=0$

$z(x,y)$ это первый интеграл системы уравнений $\dot x=y,\quad \dot y=-x$

[Brukvalub]

Уравнения в частных производных 1-го порядка традиционно рассматриваются в учебниках по ОДУ, так что см. учебник Степанова, Филиппова и т.п. по ОДУ.

[Red_Herring]

Brukvalub в сообщении #949772 писал(а):

Уравнения в частных производных 1-го порядка традиционно рассматриваются в учебниках по ОДУ

В России. В США/Канаде это не так. И, разумеется, речь идёт о вещественных уравнениях и о гладких решениях