Проективное преобразование коники

[pooh__]

Требуется найти по крайней мере одно проективное преобразование, переводящее гиперболу
$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$

в себя, а касательные в вершинах в её асимптоты.

У меня лично затруднения возникают уже на первом этапе(без асимптот)
Из каких соображений вообще это надо делать?
Составлять уравнение на проективное преобразование?

Где бы про это почитать вообще

[Evgenjy]

Сначала спроектируйте на другую плоскость так, чтобы ось гиперболы, проходящая через вершины, перешла в бесконечно удаленную линию.

[pooh__]

Ну есть все это у нас в плоскости $\alpha$. Взяли плоскость не проходящую через поперечную ось и перпендикулярную $\alpha$ и назвали ее $\alpha$ спроектировали $\alpha$ на $\beta$ из точки лежащей на плоскости перпендикулярной $\alpha$ и проходящей через нашу ось.
Получили, что поперечная ось перешла в бесконечно удаленную прямую, гипербола перешла в гиперболу(правда уже другую?)(т.к. 2 точки пересечение с бесконечно удаленной). Асимптоты теперь стали параллельными прямыми(тк пересекаются в на беск.) и так как они касались её на бесконечности, то теперь тоже касаются(?), но у гиперболы параллельными могут быть только касательные в вершинах.
Ну а вернуть на место можно пошевелив и поотражав просто.

Я верно понял?

[pooh__]

К этой задаче еще:
Теперь требуется найти общий вид этих проективных преобразований.
Есть подозрение, что они параметризуется выбором той первой точки просто из которой мы проектируем, но как это доказать и вообще я что-то не понимаю.
Да и может и прошлое мое рассуждение было ошибочно

[Evgenjy]

Запишите в проективных координатах одно такое преобразование (попроще). Чтобы ось $x$ ушла в бесконечность должно быть $z'=0$ при $y=0$ и любых $x$ и $z$. Любое требуемое проективное преобразование есть композиция этого преобразования и аффинного преобразования, переводящего гиперболу в себя. Такое аффинное преобразование должно растягивать вдоль одной асимптоты и сжимать в то же число раз вдоль другой.

[pooh__]

Ну я выбрал $x \mapsto \frac{x}{b}, y \mapsto z, z \mapsto \frac{y}{b^2}$ и вроде все отлично.
Ну как с афинным все это прокомпоновать тоже ясно.
Но как показать, что ничего другого нет?
Прошу прощения уж за приставучесть, совсем не силен в геометрии просто, а разобраться нужно.

[Evgenjy]

С аффинными преобразованиями гиперболы можно провести рассмотрение в координатах, где уравнение имеет вид $xy=1$.