Задача повышенной трудности по матем. анализу (несобств. инт

[Pyphagor]

Доказать, что для любой действительной , непрерывной на $[0;1]$ функции $f(x)$,
существует такое $a$, что:

$$\int_{0}^{1} \frac{dx}{|f(x)-a|} =\infty$$

Спасибо.

[Профессор Снэйп]

А если функция равна константе на всём отрезке?

[Pyphagor]

Тогда в качестве в качестве $a$ берем эту константу.
И $f(x)$ не существует ни в одной точке и интеграл в несобственном смысле не существует.
(Насколько помню интеграл в несобственном смысле существовать может, если
только подынтегральная функция неопределенна лишь на множестве меры 0).

[незваный гость]

Pyphagor писал(а):

Тогда в качестве в качестве $a$ берем эту константу.

Это — простите — чушь! Потому что если мы взяли $f(x) = 0$, то выражение $1/f(x)$ не определено ни в одной точке интервала, и следовательно, ни о каком интеграле ни в каком смысле речи быть не может. Вы же пытаетесь доказать, что интеграл стремится к $+\infty$ (кстати, \infty). То есть, существует $a$ такое, что интеграл существует и стремится к бесконечности.

Если потребовать, чтобы функция была бы не равна константе, то утверждение становится весьма содержательным: доказать, что существует $a$ такое, что $\frac{1}{|f(x)-a|}$ определена почти всюду, и интеграл стремится к бесконечности. Другими словами, мы можем выбрать $a$ так, что «производная» во всех точках $f^{-1}(a)$ не может быть очень бесконечной.

Впрочем, это вызывает на ум любопытное построение: рассмотрим построение канторовского континуума. $f_0(x) = x$. $f_1(x)$ получается вырезанием средней трети из отрезка, заменой функции на константу в этом сегменте равную значению в середине сегмента, и соединением концов (к ближайшим константным соседям, включая точки 0 и 1). И так далее рекурсивно.

Вроде, у нас должна получиться в пределе непрерывная функция монотонно неубывающая функция. А вот есть ли для неё $a$? И почему? Изменится ли что-нибудь, если мы будем более агрессивны — на первом шаге «законстантим» 1/2, на втором 2/3 остатка, и так далее.

[Профессор Снэйп]

Множество $A \subseteq [0,1]$ является замкнутым тогда и только тогда, когда $A = \{ x \in [0,1] : f(x)=0 \}$ для некоторой непрерывной функции $f : [0,1] \to \mathbb{R}$. Это довольно легко показать.

Далее, исходя из этого, сами смотрите, какое дополнительное условие (кроме непрерывности) надо наложить на $f$ для того, чтобы задача имела смысл. В исходной же постановке эта задача, ИМХО, бессмыленна.

[lofar]

Интеграл Лебега от функции $f$ принимающей значения в $[0,\infty]$ определяется как $\sup\{\int s\,d\mu\}$, где верхняя грань берется по всем простым функциям $s$ таким, что $s\leqslant f$. В Колмогорове-Фомине интеграл определяется другим способом, тем не менее приведенное выше определение также довольно распространено.

Согласно этому определению, если $f(x)=a$ на множестве положительной меры, то функция $1/|f(x)-a|$ будет равна $\infty$ на этом множестве и интеграл от нее будет равен $\infty$.

Нетрудно доказать, что если $f$ такова, что $\int 1/|f(x)-a|\,dx$ конечен для любого $a$ (то есть, если $f$ является контрпримером к рассматриваемой теореме), то $f$ должна быть не дифференцируема ни в одной точке. Более того, в каждой точке одно из левых производных чисел и одно из правых производных чисел равно $\pm\infty$. Пока не понял существуют ли такие непрерывные функции.

[Pyphagor]

Профессор Снэйп писал(а):

Множество $A \subseteq [0,1]$ является замкнутым тогда и только тогда, когда $A = \{ x \in [0,1] : f(x)=0 \}$ для некоторой непрерывной функции $f : [0,1] \to \mathbb{R}$. Это довольно легко показать.

Честно говоря не понимаю к чему это?

Профессор Снэйп писал(а):

Далее, исходя из этого, сами смотрите, какое дополнительное условие (кроме непрерывности) надо наложить на $f$ для того, чтобы задача имела смысл. В исходной же постановке эта задача, ИМХО, бессмыленна.

Фактически, именно так и была сформулирована задача на студенческой олимпиаде.

[Pyphagor]

Другая задача.
Пусть $P$ - многочлен степени $d$ на прямой со старшим коэффициентом $1$.
Докажите, что длина множества ${t:|P(t)|<=c}$ не превосходит $2dc^{\frac{1}_{d}}$.

[Dan B-Yallay]

Что такое "длина множества"?

[Алексей К.]

Pyphagor писал(а):

... на прямой со старшим коэффициентом $1$.

Неужели и эта задача была тоже именно так сформулирована? O, temporis...

[Профессор Снэйп]

Ага. Ещё и множество без фигурных скобочек и с какой-то странной импликацией справа налево

Ладно вам придираться. Понятно же, что человек имел в виду Я бы вот лучше тему перенёс из "учебных" в "олимпиадные", поскольку задачи явно не стандартные.

[Echo-Off]

Если под длиной подразумевается мера, то задача и впрямь олимпиадная - была год назад на олимпиаде по анализу, проводившейся на мехмате. Или, может, не она, а что-то похожее.

[Профессор Снэйп]

Echo-Off писал(а):

Если под длиной подразумевается мера...

Там множество является объединением конечного числа отрезков. Что ещё можно было бы понимать под "длиной" этого множества, кроме его (борелевской) меры, непонятно. Разве что "диаметр" (максимальное расстояние между точками множества)? Но это вряд ли.

Для подмножеств прямой слово "длина" употребляется в том же смысле, как слово "площадь" для подмножеств плоскости, "объём" для подмножеств трёхмерного евклидова пространства и т.д.