Гомоморфизм

[MestnyBomzh]

$f$-гомоморфизм колец $\mathbb{Q} \to \mathbb{C}$. Каким может быть подкольцо $\operatorname{Im} f?$ Перечислите все варианты.
Так как $\mathbb{Q}, \mathbb{C}$ кольца, а $f$- гомоморфизм, то должны выполняться следующие два свойства по определению гомоморфизма: $f(a\oplus b)=f(a)\oplus f(b), f(a\otimes b)=f(a)\otimes f(b)$.
Пока что я определился с нулем: $0_\mathbb{Q} \to 0_\mathbb{C}$, так как $f(0 \cdot a)=f(0)=f(0)(a) \Leftrightarrow f(a) = 1$.
Это означает, что все элементы $\mathbb{Q}$ переводятся в единицу, а $0_\mathbb{Q} \to 0_\mathbb{C}$, но тогда полученное множество не замкнуто $(1+1)$. К тому же, ${\left\lbrace0\right\rbrace}$ сойдет как один из вариантов $\operatorname{Im} f?$
А как действовать дальше?

[patzer2097]

MestnyBomzh в сообщении #949046 писал(а):

$f(0)=f(0)(a) \Leftrightarrow f(a) = 1$. Это означает, что все элементы $\mathbb{Q}$ переводятся в единицу

Вы имеете в виду, $0\cdot f(a)=0$, сокращаем на $0$, получаем $f(a)=1$, правильно я Вас понял?

[MestnyBomzh]

Нет, здесь я предположил, что ноль переходит в какое-то ненулевое число. И доказал от противного, что этого не может быть

[Sonic86]

Ну $f(0)$ рассмотрели, ладно. Это наш гомоморфизм практически не определяет. Давайте еще рассмотрим $f(\text{что-нибудь интересное})$.
Еще хинт: если бы у нас не было условия на умножение, то сколько бы у нас было решений?

[MestnyBomzh]

Единицу? $f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a) \Leftrightarrow f(1) = 1$. Значит $1_\mathbb{Q} \to 1_\mathbb{C}$

[arseniiv]

Теперь складывайте единицы, а потом делите единицу.

[kp9r4d]

MestnyBomzh в сообщении #949079 писал(а):

Единицу? $f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a) \Leftrightarrow f(1) = 1$. Значит $1_\mathbb{Q} \to 1_\mathbb{C}$

Ну строго говоря ведь не совсем правильный вывод. Как вы его сделали?

[MestnyBomzh]

kp9r4d
$f(1 \cdot a) = f(1) \cdot f(a)$ - это по свойству гомоморфизма. Операции умножения и сложения я задал как обычные операции сложение и умножение.

[kp9r4d]

Это правда, а почему из этого следует, что $f(1) = 1$?

[MestnyBomzh]

Потому что $f(a) = f(1) f(a)$. А $f(a) \ne 0$, значит можем равенство разделить на $f(a)$

-- 18.12.2014, 23:42 --

Рассматриваем $a \ne 0$

[kp9r4d]

MestnyBomzh в сообщении #949107 писал(а):

Рассматриваем $a \ne 0$

А почему из $a \neq 0$ следует $f(a) \neq 0$?

[MestnyBomzh]

Да, я уже об этом подумал..
Тогда докажем это: пусть $\exists a: f(a) = 0$. Тогда $f(a \cdot b) = 0$. это означает, что еще и $ab$ переходит в ноль, а значит все элементы переходят в ноль?

[kp9r4d]

Ну значит, да, но разве в этом есть какое-то противоречие?

[arseniiv]

Все выразимые как $ab$ или $ba$. Разве кольца достаточно, чтобы это были вообще все?

-- Пт дек 19, 2014 02:00:40 --

Хотя $\mathbb Q$-то поле, чего это я.

[MestnyBomzh]

Ну этот случай мы отдельно отложим. Скажем, что полученное множество $\left\lbrace0\right\rbrace$ нам подходит. А далее будем рассматривать $\forall a \ne 0 f(a) \ne 0$