Теория Вероятностей.

[tazdraperm]

Здравствуйте! Такая задача:
Случайная величина $\xi_n$ имеет нормальное распределения с параметрами 0 и n. То бишь мат. ожидание 0, а дисперсия n. Вопрос такой: существует ли предел отношения $\frac{\xi_n}{n}, n\to \infty $
Пытался что-то сделать с помощью предельных теорем и теорем о сходимости, но, видимо, всё не то. Центральная предельная теорема, закон больших чисел, но это всё для суммы величин, а не для одной. Со сходимостями тоже как-то не вышло: по вероятности, по распределению, не вижу ничего подходящего. Не пойму вообще, что делать с дисперсией, стремящейся к бесконечности. Намекните хотя бы, в каком направлении думать, с чего начать? Буду признателен.
UPD: Вероятно все же имеет место быть сходимость по распределению. Функция распределения для нормального распределения равна $0.5(1+erf(\frac{-x^2}{2n}))$, при $n \to \infty$ получается 0.5 для любого $x$. Но по-моему это лишено смысла: для любого конечного $x$ вероятность быть меньше $x$ равна 0.5.
Так же если допустить, что предел существует, то очевидно, что он равен нулю, так как по определению предела, $\frac{\xi_n}{n}$ должна попасть в любую окрестность своего предела, но это значение может быть и больше и меньше нуля, а только ноль содержит в любой своей окрестности числа больше и меньше нуля.
Но всё же все это так и не привело меня к верному решению.
UPD_2: Кажется, я решил. Рассмотрим функцию вероятности для $\eta=\frac{\xi_n}{n}$. $F_{\eta}(x)=P(\frac{\xi_n}{n}<x)=P(\xi_n<nx)=F_{\xi_n}(nx)$
Функция распределения нормального распределения известна, подставим в неё значение nx, получим: $F_{\xi_n}(nx)=0.5(1+erf(\frac{nx}{\sqrt{2n}}))=0.5(1+erf(\infty))=0.5(1+1)=1$
Теперь рассмотрим сходимость по вероятности. Допустим, что предел равен нулю. Тогда получим, что $P(|\xi_n|>\varepsilon)$ должно быть равно 0 при $ n\to\infty$. А это не есть что иное как $1-P(|\xi_n|<\varepsilon)=1-F_{\xi_n}(\varepslon)=1-1=0$. Получаем ноль, как и должно быть, значит $\frac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по распределению.
Но вот верно ли это?

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
Тема перемещена в Карантин по следующим причинам:

1. Приведите попытки решения и укажите конкретные затруднения.

2. Уточните формулировку задачи, про какой предел там идет речь.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[buggsbuggs]

По-моему, здесь все ясно - случайная величина $\eta = \frac{\xi_n}{\sqrt{n}}$ при ваших данных имеет стандартное нормальное распределение, откуда $\frac{\xi_n}{n} = \frac{\eta}{\sqrt{n}} \to 0$ во всех разумных смыслах.

[--mS--]

tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):

UPD_2: Кажется, я решил. Рассмотрим функцию вероятности для $\eta=\frac{\xi_n}{n}$. $F_{\eta}(x)=P(\frac{\xi_n}{n}<x)=P(\xi_n<nx)=F_{\xi_n}(nx)$
Функция распределения нормального распределения известна, подставим в неё значение nx, получим: $F_{\xi_n}(nx)=0.5(1+erf(\frac{nx}{\sqrt{2n}}))=0.5(1+erf(\infty))=0.5(1+1)=1$

А давайте $x=-5$ подставим и проверим?

tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):

Теперь рассмотрим сходимость по вероятности. Допустим, что предел равен нулю. Тогда получим, что $P(|\xi_n|>\varepsilon)$ должно быть равно 0 при $ n\to\infty$.

Не должно и не может быть равно нулю ни при каком $n$. Равно - это равно. Предел - это предел. Не различаете?

tazdraperm в сообщении #948962 писал(а):

А это не есть что иное как $1-P(|\xi_n|<\varepsilon)=1-F_{\xi_n}(\varepslon)=1-1=0$. Получаем ноль, как и должно быть, значит $\frac{\xi_n}{n}$ сходится к нулю по распределению.
Но вот верно ли это?

Нет, не верно. $F_{\xi_n}(\varepsilon)$ при при каком $n$ единице не равно. Если поправите настолько, что $\dfrac1n$ перестанет равняться нулю, то станет верно.

А вот мне интересно, Вы про свойства нормального распределения что-нибудь знаете? Например, сумма каких независимых и одинаково распределённых нормальных величин даст величину с тем же распределением, что задано в условии?

[tazdraperm]

--mS--,
1)Да, при отрицательных $x$ выходит другой знак
2)Тут, конечно, либо предел нужно написать, либо вероятность $P\to0$, а не равна
3)Да тут с этой функцией вероятности я напутал...
4)Ну, сумма двух нормальных величин с мат ожиданиями $M_1, M_2$ и дисперсиями $D_1, D_2 $ даст нормальную величину с мат ожиданием и дисперсией соответственно $M_1+M_2, D_1+D_2$
То есть мы можем взять некоторое число нормальных величин, например, n, таких, что сумма их мат.ожиданий равна нулю, а сумма их дисперсий равна n. Тогда мы получим: $\eta=N(0,1), \xi_n=n\cdot \eta$, где N(0,1) - нормальное стандартное распределение. Хотя, меня несколько смущает бесконечное число слагаемых.

[--mS--]

tazdraperm в сообщении #950682 писал(а):

4)Ну, сумма двух нормальных величин с мат ожиданиями $M_1, M_2$ и дисперсиями $D_1, D_2 $ даст нормальную величину с мат ожиданием и дисперсией соответственно $M_1+M_2, D_1+D_2$

Это неверно, и контрпример - ниже. Чему равна дисперсия $n\cdot \eta$? В каком случае дисперсии складываются?

tazdraperm в сообщении #950682 писал(а):

То есть мы можем взять некоторое число нормальных величин, например, n, таких, что сумма их мат.ожиданий равна нулю, а сумма их дисперсий равна n. Тогда мы получим: $\eta=N(0,1), \xi_n=n\cdot \eta$, где N(0,1) - нормальное стандартное распределение. Хотя, меня несколько смущает бесконечное число слагаемых.

[tazdraperm]

--mS--, дисперсия и мат ожидание складываются, когда случайные величины-слагаемые независимы.

[--mS--]

А теперь снова:

--mS-- в сообщении #950634 писал(а):

Вы про свойства нормального распределения что-нибудь знаете? Например, сумма каких независимых и одинаково распределённых нормальных величин даст величину с тем же распределением, что задано в условии?

[tazdraperm]

--mS--, значит, если взять n величин с нормальным стандартным распределением ($\eta_1, \eta_2, ..., \eta_n$) и сложить их, то получится величина из условия задачи, так? Ведь эти величины независимые.

[--mS--]

Нет, не получится. Получится величина с таким же распределением, как из условия задачи. А теперь ЗБЧ.

[tazdraperm]

--mS--, ну да, я и имел ввиду, что распределение будет такое же. Неправильно выразился.
Так, закон больших чисел. Среднее арифметическое достаточно большой выборки из какого-либо фиксированного распределения близко к математическому ожиданию этого распределения.
Теперь немного моих рассуждений. Если выборка будет иметь бесконечное число элементов и я поставлю предел, то получу $\lim(\frac{\eta_1+\eta_2+...+\eta_n}{n})=M(\xi_n), n\to\infty$. А математическое ожидание по условию равно нулю.

[--mS--]

Это что за терминология такая "будет близко"? Где Вы откопали этот ЗБЧ для домохозяек? Сформулируйте и примените ЗБЧ нормально. Никогда не поверю, что там, где знают, что такое сходимость по распределению, ЗБЧ формулируется в таком дремучем виде.

[tazdraperm]

--mS--,
Среднее арифметическое достаточно большой выборки из фиксированного распределения будет стремиться к математическому ожиданию этого распределения.
Лучше?

[--mS--]

Ничуть. Начнём с того, что это теория вероятностей, здесь нет никаких выборок. Зато есть независимые и одинаково распределенные случайные величины. Сходимостей последовательностей случайных величин бывает великое множество - например, по распределению. Или по вероятности. Или почти наверное. Или в среднем порядка $7$. Или в среднеквадратичном. Или, или, или. Которая из них спряталась под словами "стремится"?

Впрочем, Вы можете удовлетвориться теми псевдо-решениями, которые Вы уже дали. Может быть, и правда ничего большего от Вас не требуется, а я тут Вас мучаю.